Chiarimento su concetti base di vettore nullo e sottospazio
Salve a tutti, vorrei cortesemente un piccolo chiarimento su un concetto basilare, che tuttavia continua a sfuggirmi nonostante la risoluzione di esercizi.
Il chiarimento in questione riguarda il legame che intercorre tra vettore nullo e sottospazio vettoriale.Ecco,più precisamente,durante la risoluzione di esercizi che riguardavano la dimostrazione di sottospazi vettoriali appartenenti ad R, ho notato che si fa riferimento all'appartenenza del vettore nullo al sottospazio. In effetti a livello teorico ho capito che esso è basilare per determinare se l'elemento in questione sia o no un sottospazio. Ma a livello pratico,come faccio a identificare il vettore nullo?Mi spiego subito con alcuni esempi pratici.
S= {x, y , z)| x diverso da 1}. Il libro identifica il vettore nullo 0= (0,0,0) appartenente ad S.Io come lo scorgo?
Altro esempio
S={x, y) | x = 1} Il libro mi dice che non si tratta di un sottospazio poichè il vettore nullo 0=(0,0) non appartiene ad S.
Ringrazio anticipatamente chi riesce a fornire una risposta che possa dissipare questi dubbi.
Il chiarimento in questione riguarda il legame che intercorre tra vettore nullo e sottospazio vettoriale.Ecco,più precisamente,durante la risoluzione di esercizi che riguardavano la dimostrazione di sottospazi vettoriali appartenenti ad R, ho notato che si fa riferimento all'appartenenza del vettore nullo al sottospazio. In effetti a livello teorico ho capito che esso è basilare per determinare se l'elemento in questione sia o no un sottospazio. Ma a livello pratico,come faccio a identificare il vettore nullo?Mi spiego subito con alcuni esempi pratici.
S= {x, y , z)| x diverso da 1}. Il libro identifica il vettore nullo 0= (0,0,0) appartenente ad S.Io come lo scorgo?
Altro esempio
S={x, y) | x = 1} Il libro mi dice che non si tratta di un sottospazio poichè il vettore nullo 0=(0,0) non appartiene ad S.
Ringrazio anticipatamente chi riesce a fornire una risposta che possa dissipare questi dubbi.
Risposte
Dunque se ho capito bene il tuo dubbio è il perché il vettore nullo deve necessariamente essere contenuto in un sottospazio vettoriale. Algebricamente, un sottospazio vettoriale è innanzitutto un sottogruppo rispetto alla somma definita sullo spazio vettoriale, e quindi deve contenere l'elemento neutro rispetto alla somma, ovvero il vettore nullo.
Se vuoi vederla in maniera geometrica, discende direttamente dalla definizione di sottospazio. Infatti essendo un sottoinsieme non vuoto, chiuso rispetto alle due operazioni fondamentali, hai che per ogni vettore il suo opposto è contenuto nel sottospazio, e la loro somma, che è il vettore nullo, è contenuta anch'essa nello spazio ! E' quindi condizione necessaria perché un insieme sia sottospazio che contenga il vettore nullo. Questo a livello teorico.
Per quanto riguarda gli esempi che hai scritto, dipende tutto dalla definizione del sottoinsieme. Nel primo caso è chiaro che il vettore nullo gli appartiene (la prima componente è 0, quindi diversa da 1). Nel secondo caso è altrettanto chiaro che non gli appartiene perché, come appena detto la sua prima componente non è 1, e il sottoinsieme è definito proprio come tutti i vettori che hanno prima componente 1.
Spero di averti chiarito qualche dubbio ^^!
Se vuoi vederla in maniera geometrica, discende direttamente dalla definizione di sottospazio. Infatti essendo un sottoinsieme non vuoto, chiuso rispetto alle due operazioni fondamentali, hai che per ogni vettore il suo opposto è contenuto nel sottospazio, e la loro somma, che è il vettore nullo, è contenuta anch'essa nello spazio ! E' quindi condizione necessaria perché un insieme sia sottospazio che contenga il vettore nullo. Questo a livello teorico.
Per quanto riguarda gli esempi che hai scritto, dipende tutto dalla definizione del sottoinsieme. Nel primo caso è chiaro che il vettore nullo gli appartiene (la prima componente è 0, quindi diversa da 1). Nel secondo caso è altrettanto chiaro che non gli appartiene perché, come appena detto la sua prima componente non è 1, e il sottoinsieme è definito proprio come tutti i vettori che hanno prima componente 1.
Spero di averti chiarito qualche dubbio ^^!
Ringrazio Sigma1 perchè anch'io avevo questo dubbio e me l'ha chiarito. Ma se non sbaglio Ilafree92 chiede come capire quale sia il vettore nullo in sottospazio giusto?
"IlaFree92":
S= {(x, y , z)| x diverso da 1}. Il libro identifica il vettore nullo 0= (0,0,0) appartenente ad S.Io come lo scorgo?
Altro esempio
S={(x, y) | x = 1} Il libro mi dice che non si tratta di un sottospazio poichè il vettore nullo 0=(0,0) non appartiene ad S.
Ringrazio anticipatamente chi riesce a fornire una risposta che possa dissipare questi dubbi.
Diciamo che per studiare se un certo sottoinsieme è o meno un sottospazio vettoriale, è necessario che ti venga assegnato lo spazio vettoriale "ambiente" che indicherò con $V$ (chiaro, no?).
$V$ è un insieme su cui viene "montata" la struttura di spazio vettoriale: per fare questo montaggio, tra le altre proprietà da verificare, devi esibire il vettore nullo, cioè l'elemento neutro rispetto all'operazione di somma che hai introdotto su $V$.
Quindi, se è dato uno spazio vettoriale, tu sai già implicitamente chi è il vettore nullo.
Grazie a tutti per le risposte!
vorrei semplicemente ringraziare Sigma1 perchè mi ha tolto una grande curiosità. 
approfitto di questo topic per chiedere:
la base e la dimensione di questo sottospazio:
$W$=$L((-1,2)$,$(0,0))$ $sube$ $RR^2$
La dimensione è comuqnue due? anche se c'è il vettore nullo (che per definizione dovrebbe esserci sempre no?)? una base è
$W=L(-1,2)$
$dimW=2$?
Invece questo?
$U={($ $x_1$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ ): $x_1$ = $x_3$ = 0} $sube$ $RR^4$
grazie a tutti
la base e la dimensione di questo sottospazio:
$W$=$L((-1,2)$,$(0,0))$ $sube$ $RR^2$
La dimensione è comuqnue due? anche se c'è il vettore nullo (che per definizione dovrebbe esserci sempre no?)? una base è
$W=L(-1,2)$
$dimW=2$?
Invece questo?
$U={($ $x_1$, $x_1$, $x_2$, $x_3$, $x_4$ ): $x_1$ = $x_3$ = 0} $sube$ $RR^4$
grazie a tutti
No ovviamente, la dimensione è 1 e non 2, infatti il vettore nullo non lo conti!
Sul secondo hai tutti vettori con $x_1$ e $x_3$ uguali a zero, quindi tra tutti i vettori puoi scegliere solo quelli formati dal vettore nullo più un valore di $x_2$ e di $x_4$ potendo cambiare solo i coefficienti di questi due vettori, hai che lo spazio è di dimensione 2.
Sul secondo hai tutti vettori con $x_1$ e $x_3$ uguali a zero, quindi tra tutti i vettori puoi scegliere solo quelli formati dal vettore nullo più un valore di $x_2$ e di $x_4$ potendo cambiare solo i coefficienti di questi due vettori, hai che lo spazio è di dimensione 2.
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