Spazi quoziente di Hausdorff
Buongiorno a tutti! ho un dubbio sugli spazi di Hausdorff: dato uno spazio X di Hausdorff e un suo sottospazio S chiuso, lo spazio quoziente X/S è di Hausdorff? Io direi di no in quanto se prendo due elementi x e y appartenenti a S la loro classe di equivalenza in X/S è la stessa e coincide con tutto S. Quindi non è possibile avere due aperti disgiunti U e U' t.c U contenga x, U' contenga y e la loro intersezione sia disgiunta.
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
L'unica possibilità affinchè questo sia vero è che S sia costituito da un unico punto e in tal caso X/S verrebbe a coincidere con X.
Cosa ne pensate? Grazie in anticipo!
Risposte
Il quoziente di uno spazio $T_2$ in generale non è $T_2$.
Detta però $R$ relazione di equivalenza su $S$, spazio topologico tale che la surgezione canonica sia aperta, allora $S//R$ è $T_2$ se e solo se $R$ è chiuso di $S \times S$
Detta però $R$ relazione di equivalenza su $S$, spazio topologico tale che la surgezione canonica sia aperta, allora $S//R$ è $T_2$ se e solo se $R$ è chiuso di $S \times S$
Credo di aver capito ma potresti farmi un esempio di uno spazio di questo tipo? grazie mille!!
Tipicamente la situazione prospettata da mistake si ha nel contesto dei gruppi topologici.
Succede infatti che se si ha un gruppo topologico $G$ (un gruppo algebrico dotato di una topologia di Hausdorff rispetto alla quale le operazioni sono continue) e un suo sottogruppo normale $H$, il quoziente $G//H$ ha in modo naturale struttura di gruppo topologico con la topologia quoziente. Ora risulta che la proiezione canonica di $G$ su $G//H$ è sempre aperta, cosicché $G//H$ è di Hausdorff se e solo se $H$ è chiuso in $G$.
Per visualizzare bene il tutto prendiamo $G=(RR, +)$ e $H=ZZ$. In questo caso $H$ è chiuso in $G$ e quindi $G//H$ deve essere di Hausdorff: infatti si può dimostrare che, dal punto di vista topologico, $RR//ZZ$ "è" la circonferenza, sottospazio topologico del piano. Mentre la situazione è diversa se $H=QQ$. Questo sottogruppo non è chiuso e difatti $RR//QQ$ è uno spazio topologico decisamente più strano, di cui si è parlato qui.
Succede infatti che se si ha un gruppo topologico $G$ (un gruppo algebrico dotato di una topologia di Hausdorff rispetto alla quale le operazioni sono continue) e un suo sottogruppo normale $H$, il quoziente $G//H$ ha in modo naturale struttura di gruppo topologico con la topologia quoziente. Ora risulta che la proiezione canonica di $G$ su $G//H$ è sempre aperta, cosicché $G//H$ è di Hausdorff se e solo se $H$ è chiuso in $G$.
Per visualizzare bene il tutto prendiamo $G=(RR, +)$ e $H=ZZ$. In questo caso $H$ è chiuso in $G$ e quindi $G//H$ deve essere di Hausdorff: infatti si può dimostrare che, dal punto di vista topologico, $RR//ZZ$ "è" la circonferenza, sottospazio topologico del piano. Mentre la situazione è diversa se $H=QQ$. Questo sottogruppo non è chiuso e difatti $RR//QQ$ è uno spazio topologico decisamente più strano, di cui si è parlato qui.
ok quindi alla domanda: "Sia X di Hausdorff e A chiuso. X/A e’ di Hausdorff ? Lo si dimostri o si fornisca un controesempio." dovrei trovare un controesempio giusto? perchè se ho capito bene il fatto che A sia chiuso non è sufficiente a dimostrare che X/A è di Hausdorff. Quindi dovrei trovare uno spazio topologico che non sia gruppo topologico (e quindi che non sia un gruppo), quozientarlo con un chiuso e mostrare che non è di Hausdorff? scusa la banalità delle mie domande ma voglio capire bene, e intanto grazie 1000!
$X//A$ cosa significa? Intendi $X//\rho$ dove $\rho$ è la relazione di equivalenza ottenuta identificando $A$ ad un punto?
intendo X/p dove p è la relazione di equivalenza tale per cui dati due elementi x e y essi sono in relazione se e solo se appartengono entrambi ad A
Posso suggerirti [tex]$X=\mathbb{R}$[/tex] con la topologia naturale ed [tex]$A=[a;b]$[/tex] con [tex]$a
Un tale spazio quoziente si dice "collasso di [tex]$X$[/tex] su [tex]$A$[/tex]" o "riduzione del chiuso [tex]$A$[/tex] ad un punto".
Un tale spazio quoziente si dice "collasso di [tex]$X$[/tex] su [tex]$A$[/tex]" o "riduzione del chiuso [tex]$A$[/tex] ad un punto".
"giulia.galaffi":mi pare che manchi la parte in rosso...vero?
p è la relazione di equivalenza tale per cui dati due elementi x e y essi sono in relazione se e solo se x=y oppure appartengono entrambi ad A
@j18eos: Sei sicuro che $RR//[a, b]$ non sia di Hausdorff?
si manca la parte in rosso!
Ci ho pensato un po' e un esempio proprio semplice non l'ho trovato. Da una ricerca condotta sul testo di Munkres, invece, ho trovato qualcosa.
Sia [tex]K=\{1 / n \mid n=1, 2, 3, \ldots \}[/tex] e sia [tex]\mathcal{B}_K=\{(\alpha, \beta)\mid \alpha < \beta \} \cup \{ (a, b) \setminus K \mid a < b\}[/tex]. Indichiamo con [tex]\mathbb{R}_K[/tex] la retta reale munita della topologia generata da [tex]\mathcal{B}_K[/tex], osservando che [tex]\mathcal{B}_K[/tex] è una base di [tex]\mathbb{R}_K[/tex].
[tex]\mathbb{R}_K[/tex] è uno spazio di Hausdorff: questo è piuttosto facile da dimostrare, dal momento che la topologia di [tex]\mathbb{R}_K[/tex] è strettamente più fine della topologia naturale della retta. Inoltre [tex]K[/tex] è chiuso in [tex]\mathbb{R}_K[/tex]. NOTA BENE: [tex]K[/tex] non è chiuso nella topologia naturale, perché si accumula intorno a 0 e [tex]0 \notin K[/tex]. Ma questa topologia è in un certo senso "fatta apposta" per fare diventare [tex]K[/tex] un chiuso.
Introdotti questi oggetti, e detto [tex]Y=\mathbb{R}/K[/tex], risulta che [tex]Y[/tex] non è di Hausdorff. (Munkres §22, esercizio 6).
@Giulia: Prova a dimostrarlo tu, se poi hai difficoltà posta qui che lo vediamo insieme. Ok?
Sia [tex]K=\{1 / n \mid n=1, 2, 3, \ldots \}[/tex] e sia [tex]\mathcal{B}_K=\{(\alpha, \beta)\mid \alpha < \beta \} \cup \{ (a, b) \setminus K \mid a < b\}[/tex]. Indichiamo con [tex]\mathbb{R}_K[/tex] la retta reale munita della topologia generata da [tex]\mathcal{B}_K[/tex], osservando che [tex]\mathcal{B}_K[/tex] è una base di [tex]\mathbb{R}_K[/tex].
[tex]\mathbb{R}_K[/tex] è uno spazio di Hausdorff: questo è piuttosto facile da dimostrare, dal momento che la topologia di [tex]\mathbb{R}_K[/tex] è strettamente più fine della topologia naturale della retta. Inoltre [tex]K[/tex] è chiuso in [tex]\mathbb{R}_K[/tex]. NOTA BENE: [tex]K[/tex] non è chiuso nella topologia naturale, perché si accumula intorno a 0 e [tex]0 \notin K[/tex]. Ma questa topologia è in un certo senso "fatta apposta" per fare diventare [tex]K[/tex] un chiuso.
Introdotti questi oggetti, e detto [tex]Y=\mathbb{R}/K[/tex], risulta che [tex]Y[/tex] non è di Hausdorff. (Munkres §22, esercizio 6).
@Giulia: Prova a dimostrarlo tu, se poi hai difficoltà posta qui che lo vediamo insieme. Ok?
Se trovi difficoltà, posso dare un suggerimento: considera nel quoziente [tex]Y[/tex] i due punti [tex][0], K[/tex] (nel quoziente, [tex]K[/tex] è identificato ad un punto solo). Come sono fatti gli intorni aperti di [tex]K[/tex]?
@dissonance Che boiata: [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{nat})$[/tex] è uno spazio regolare sicché i suoi collassi sui chiusi sono spazi di Hausdorff! -_-
@giulia.galaffi Faccio un altro tentativo: considera lo spazio topologico somma [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{S})$[/tex] di [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{nat})$[/tex] con [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{conum})$[/tex]; gl'insiemi chiusi di quest'ultimo spazio topologico sono tutti e soli gli insiemi finiti e gli insiemi numerabili (topologia conumerabile).
Il collasso di [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{S})$[/tex] su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex], e lo indico con [tex]$(\mathbb{R}_{/\mathbb{Q}};\mathcal{S}_{/\mathbb{Q})}$[/tex], è uno spazio di Fréchet non di Hausdorff!
@giulia.galaffi Faccio un altro tentativo: considera lo spazio topologico somma [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{S})$[/tex] di [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{nat})$[/tex] con [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{A}_{conum})$[/tex]; gl'insiemi chiusi di quest'ultimo spazio topologico sono tutti e soli gli insiemi finiti e gli insiemi numerabili (topologia conumerabile).
Il collasso di [tex]$(\mathbb{R};\mathcal{S})$[/tex] su [tex]$\mathbb{Q}$[/tex], e lo indico con [tex]$(\mathbb{R}_{/\mathbb{Q}};\mathcal{S}_{/\mathbb{Q})}$[/tex], è uno spazio di Fréchet non di Hausdorff!
@Giulia: Temo che l'esercizio da me proposto sia stato fuorviante, perché usa un esempio specifico (lo spazio [tex]\mathbb{R}_K[/tex]) che possibilmente non ti è noto. Allora vediamo di risolvere il problema in astratto, perché concettualmente la questione è molto semplice. Si tratta essenzialmente dell'idea a cui fa riferimento j18eos, solo che (come al solito 
) lui fa uso di un linguaggio molto impegnativo che spaventa non poco: provo quindi a spiegare in termini più semplici, sperando di essere d'aiuto.
Supponiamo che [tex]X[/tex] sia uno spazio topologico di Hausdorff ma non regolare (o [tex]T3[/tex]), ovvero che esistano un chiuso [tex]K \subset X[/tex] e un punto [tex]x \in X[/tex] che non possono essere separati con aperti: in formule
[tex]$ \forall U, V \subset X\ \text{aperti},\ x \in U,\ K \subset V\ :\ U \cap V \ne \varnothing.[/tex] (*)
Allora [tex]X / K[/tex] non è uno spazio di Hausdorff. Intuitivamente la cosa è ovvia. [tex]X / K[/tex] è, essenzialmente, lo spazio [tex]X[/tex] in cui però il sottoinsieme [tex]K[/tex] è stato schiacciato (o collassato, vedi j18eos) su un punto solo. Allora, se in [tex]X[/tex] non si potevano separare con aperti [tex]x[/tex] e [tex]K[/tex], in [tex]X/K[/tex] non si potranno separare con aperti [tex][x][/tex] e [tex][K][/tex] (uso le parentesi quadre per indicare gli elementi del quoziente, con un piccolo abuso di notazione).
Vediamo di dimostrare formalmente questo fatto. Sia [tex]\pi\colon X \to X/K[/tex] la proiezione canonica. Per definizione di topologia quoziente, questa mappa è una identificazione (o mappa quoziente, o mappa fortemente continua, non so quale terminologia tu adotti), ovvero
[tex]$\tilde{U}\subset X/Y\ \text{è aperto} \iff \pi^{-1}(\tilde{U}) \subset X\ \text{è aperto}.[/tex]
Consideriamo un intorno aperto [tex]\tilde{U}[/tex] di [tex][x][/tex] e un intorno aperto [tex]\tilde{V}[/tex] di [tex][K][/tex]. Poniamo [tex]U:=\pi^{-1}(\tilde{U}), V:=\pi^{-1}(\tilde{V})[/tex]: questi insiemi sono aperti e ad essi si può applicare la proposizione (*), quindi [tex]U \cap V \ne \varnothing[/tex]. Sia quindi [tex]y \in U \cap V[/tex]: per costruzione, [tex]\pi(y) \in \tilde{U}, \pi(y)\in \tilde{V}[/tex] quindi l'intersezione [tex]\tilde{U}\cap \tilde{V}[/tex] non è vuota. Ne concludiamo che [tex]X/K[/tex] non è uno spazio di Hausdorff, perché non è possibile separare con aperti [tex][x][/tex] e [tex][K][/tex].
In particolare, questo ragionamento può applicarsi con [tex]X=\mathbb{R}_K[/tex], che è uno spazio topologico costruito espressamente per essere di Hausdorff ma non regolare. In questo caso è [tex]x=0[/tex].
[edit]Volevo dire spazio regolare, non spazio normale. Ho corretto.
) lui fa uso di un linguaggio molto impegnativo che spaventa non poco: provo quindi a spiegare in termini più semplici, sperando di essere d'aiuto.Supponiamo che [tex]X[/tex] sia uno spazio topologico di Hausdorff ma non regolare (o [tex]T3[/tex]), ovvero che esistano un chiuso [tex]K \subset X[/tex] e un punto [tex]x \in X[/tex] che non possono essere separati con aperti: in formule
[tex]$ \forall U, V \subset X\ \text{aperti},\ x \in U,\ K \subset V\ :\ U \cap V \ne \varnothing.[/tex] (*)
Allora [tex]X / K[/tex] non è uno spazio di Hausdorff. Intuitivamente la cosa è ovvia. [tex]X / K[/tex] è, essenzialmente, lo spazio [tex]X[/tex] in cui però il sottoinsieme [tex]K[/tex] è stato schiacciato (o collassato, vedi j18eos) su un punto solo. Allora, se in [tex]X[/tex] non si potevano separare con aperti [tex]x[/tex] e [tex]K[/tex], in [tex]X/K[/tex] non si potranno separare con aperti [tex][x][/tex] e [tex][K][/tex] (uso le parentesi quadre per indicare gli elementi del quoziente, con un piccolo abuso di notazione).
Vediamo di dimostrare formalmente questo fatto. Sia [tex]\pi\colon X \to X/K[/tex] la proiezione canonica. Per definizione di topologia quoziente, questa mappa è una identificazione (o mappa quoziente, o mappa fortemente continua, non so quale terminologia tu adotti), ovvero
[tex]$\tilde{U}\subset X/Y\ \text{è aperto} \iff \pi^{-1}(\tilde{U}) \subset X\ \text{è aperto}.[/tex]
Consideriamo un intorno aperto [tex]\tilde{U}[/tex] di [tex][x][/tex] e un intorno aperto [tex]\tilde{V}[/tex] di [tex][K][/tex]. Poniamo [tex]U:=\pi^{-1}(\tilde{U}), V:=\pi^{-1}(\tilde{V})[/tex]: questi insiemi sono aperti e ad essi si può applicare la proposizione (*), quindi [tex]U \cap V \ne \varnothing[/tex]. Sia quindi [tex]y \in U \cap V[/tex]: per costruzione, [tex]\pi(y) \in \tilde{U}, \pi(y)\in \tilde{V}[/tex] quindi l'intersezione [tex]\tilde{U}\cap \tilde{V}[/tex] non è vuota. Ne concludiamo che [tex]X/K[/tex] non è uno spazio di Hausdorff, perché non è possibile separare con aperti [tex][x][/tex] e [tex][K][/tex].
In particolare, questo ragionamento può applicarsi con [tex]X=\mathbb{R}_K[/tex], che è uno spazio topologico costruito espressamente per essere di Hausdorff ma non regolare. In questo caso è [tex]x=0[/tex].
[edit]Volevo dire spazio regolare, non spazio normale. Ho corretto.
"dissonance":Veramente hai richiesto così uno spazio topologico di Hausdorff non regolare (o [tex]T3[/tex]); per cronaca uno spazio di Hausdorff non normale [tex]$X$[/tex] o [tex]$T4$[/tex] è tale che esistano insiemi chiusi disgiunti [tex]$C_1\ \text{e}\ C_2$[/tex] che non possono essere separati con aperti, analogamente al caso degli spazi regolari: [tex]$\forall A_1;A_2\subset X\ \text{aperti},\ C_1\subset A_1;\,C_2\subset A_2\mid A_1\cap A_2\not=\emptyset$[/tex].
...Supponiamo che [tex]X[/tex] sia uno spazio topologico di Hausdorff ma non normale (o [tex]T3[/tex]), ovvero che esistano un chiuso [tex]K \subset X[/tex] e un punto [tex]x \in X[/tex] che non possono essere separati con aperti: in formule
[tex]$ \forall U, V \subset X\ \text{aperti},\ x \in U,\ K \subset V\ :\ U \cap V \ne \varnothing.[/tex] (*)...
@Giulia Se può esserti d'aiuto posso scriverti l'idea che mi ha condotto all'esempio consigliato.
OUT OF SELF Che sono impegnativo da leggere (purtroppo) lo capisco; ed il mio attuale impegno è quello di esserlo di meno, ma quando devo rispondere a domande pretestuose di conoscenze divento chiaro come la Pizia di Delfi, in quanto suppongo con pretenziosità una certa scioltezza con gli argomenti.
Riesumo questo topic perchè il discorso "quozienti di spazi di Hausdorff" mi interessa alquanto, anche se non sono sicuro di averlo compreso fino in fondo.
Avrei una domanda: come faccio a capire se mi trovo nel contesto di un'azione di gruppo?
Mi spiego meglio. Io ho studiato questo teorema, che costituisce un criterio affinchè uno spazio quoziente sia di Hausdorff.
Criterio. Siano $X,Y$ spazi topologici e $f: X to Y$ una mappa continua, suriettiva e aperta [size=59](è una mappa quoziente, per una nota proprietà)[/size]. $Y$ è uno spazio di Hausdorff se e soltanto se [tex]\Gamma = \{(x_1,x_2) \vert f(x_1) = f(x_2)\} \subset X \times X[/tex] è chiuso nel prodotto.
Notare che questo funziona soltanto quando la mappa è aperta (e lo si vede bene nella dimostrazione). La cosa splendida è che se il quoziente viene da un'azione di gruppo la proiezione è continua, suriettiva e aperta (proprietà nota) quindi basta vedere che il grafo della relazione (appunto l'insieme $\Gamma$ di cui sopra) è chiuso.
Io mi chiedo: come faccio a capire se sono in questo ambito? Come faccio a distinguere un quoziente che viene da un'azione di gruppo?
Prendiamo un caso concreto: mettiamo che io prenda come $X= [0,2]$, l'intervallo chiuso $[0,2]$ in cui identifico i punto $0,1,2$ e non faccio altro. Mi chiedo se il quoziente è di Hausdorff. Se volessi applicare il criterio precedente (l'unico che io conosca in fatto di quozienti e Hausdorff) dovrei sperare che tale quoziente provenga da un'azione di gruppo... già, ma quale?
Grazie in anticipo.
Avrei una domanda: come faccio a capire se mi trovo nel contesto di un'azione di gruppo?
Mi spiego meglio. Io ho studiato questo teorema, che costituisce un criterio affinchè uno spazio quoziente sia di Hausdorff.
Criterio. Siano $X,Y$ spazi topologici e $f: X to Y$ una mappa continua, suriettiva e aperta [size=59](è una mappa quoziente, per una nota proprietà)[/size]. $Y$ è uno spazio di Hausdorff se e soltanto se [tex]\Gamma = \{(x_1,x_2) \vert f(x_1) = f(x_2)\} \subset X \times X[/tex] è chiuso nel prodotto.
Notare che questo funziona soltanto quando la mappa è aperta (e lo si vede bene nella dimostrazione). La cosa splendida è che se il quoziente viene da un'azione di gruppo la proiezione è continua, suriettiva e aperta (proprietà nota) quindi basta vedere che il grafo della relazione (appunto l'insieme $\Gamma$ di cui sopra) è chiuso.
Io mi chiedo: come faccio a capire se sono in questo ambito? Come faccio a distinguere un quoziente che viene da un'azione di gruppo?
Prendiamo un caso concreto: mettiamo che io prenda come $X= [0,2]$, l'intervallo chiuso $[0,2]$ in cui identifico i punto $0,1,2$ e non faccio altro. Mi chiedo se il quoziente è di Hausdorff. Se volessi applicare il criterio precedente (l'unico che io conosca in fatto di quozienti e Hausdorff) dovrei sperare che tale quoziente provenga da un'azione di gruppo... già, ma quale?
Grazie in anticipo.
Beh: almeno che non sia esplicitamente indicato il gruppo che agisce e\o determina lo spazio quoziente, penso che non sia facile determinare tale gruppo; ammesso che ogni quoziente topologico è individuato dall'azione di un gruppo!
"j18eos":???
ammesso che ogni quoziente topologico è individuato dall'azione di un gruppo!
Questo è falso. Non è difficile trovare esempi: basta trovare un quoziente topologico in cui la proiezione naturale non sia una mappa aperta. Per esempio mi pare che identificando ad un punto gli estremi di $[0, 2pi]$ si ottiene un quoziente con queste caratteristiche. Ma forse non capisco cosa vuoi dire, j18eos?
"Paolo90":Da questa parte di post di Paolo90 ho evinto che egli voglia determinare a priori se uno spazio topologico quoziente sia determinato dall'azione di un gruppo, io ho scritto che non è facile determinare un tale gruppo, ammesso che esista; forse scritto così è più esplicito.
...La cosa splendida è che se il quoziente viene da un'azione di gruppo la proiezione è continua, suriettiva e aperta (proprietà nota) quindi basta vedere che il grafo della relazione (appunto l'insieme $\Gamma$ di cui sopra) è chiuso.
Io mi chiedo: come faccio a capire se sono in questo ambito?...
Da quanto scrivi dissonance ciò non è vero in generale, ovvero: esistono spazi topologici quozienti che non sono determinati da azioni di gruppi.
Vi ringrazio per le risposte.
Confermo quanto dite, anzi la questione è esattamente quella: visto che non tutti i quozienti provengono da azioni di gruppo, come faccio a capire se il quoziente proviene da un'azione di gruppo?
E in caso di risposta affermativa, come faccio a capire quale gruppo agisce?
Forse sono domande ardite (forse una risposta generale non c'è), ma mi piacerebbe molto sentire il vostro parere.
Grazie
Confermo quanto dite, anzi la questione è esattamente quella: visto che non tutti i quozienti provengono da azioni di gruppo, come faccio a capire se il quoziente proviene da un'azione di gruppo?
E in caso di risposta affermativa, come faccio a capire quale gruppo agisce?
Forse sono domande ardite (forse una risposta generale non c'è), ma mi piacerebbe molto sentire il vostro parere.
Grazie
La mia impressione è che si tratta di una questione non banale.
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