Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, continuando a vedere alcune cose di Geometria 2, stavo vedendo un altro esercizio del Manetti, ovvero il 5.25. La traccia è "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico compattamente generato e $Y$ uno quoziente topologico di $X$ di Hausdorff, allora $Y$ è compattemente generato"
(per compattamente generato intendo che $C \subset X$ è chiuso se e solo se $C nn K$ è chiuso in $K$ per ogni $K$ compatto in ...
Sia $~$ la relazione di equivalenza su $R$ tale per cui $x ~ y$ se e solo se $x - y \in Q$.
Descrivere gli aperti dello spazio quoziente $R / ~$.
$R$ ha la topologia euclidea standard.
Non saprei come procedere.. Ovvero, $x,y$ sono in relazione se $x = y + m/n$ con $m,n \in Z$.
Quindi pensavo che tutti i numeri razionali fossero equivalenti... E rimanevano fuori tutti gli irrazionali.
Quindi la relazione ...
$ p \in A' \cap B' $$ A \cap C \ne \emptyset $Buonasera, ho un problema con un esercizio. O forse è lui ad averlo con me ... Ma proprio non riesco a trovare una soluzione a questo esercizio... Che sicuramente è più banale di quanto pensi..
Siano $A$ e $B$ due sottoinsiemi di $X$, $A, B \subset X$, con $(X,\tau)$ spazio topologico.
Devo fornire un esempio in cui la chiusura dell'intersezione di $(A \cap B)'$ è diversa dall'intersezione delle chiusure ...
Devo dimostrare che la topologia indotta dalla metrica è una topologia. Quindi devo dimostrare che l'intersezione di palle è ancora una palla....
In quanto nella topologia indotta dalla metrica un aperto è sempre esprimibile come unione di palle.
Prese due palle $B(x,r)$ e $B(y,s)$ l'intersezione $B(x,r) ∩ B(y,s)$ è una palla (aperto).
Quindi devo prendere un punto appartenente all'intersezione delle palle $p$ e dimostrare che esiste un raggio ...
Sia dato il seguente insieme ${(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 = 1}$. Vogliamo trovare la chiusura dell'insieme con la topologia seguente definita usando il concetto di chiuso:
Sia $C_a = {(x,y) \in R^2 | xy = a}$. Un chiuso è definito come segue $C_j = \cup C_a$ con $a \in J \subseteq R$ ..
Proposizionie. Ovviamente io so che un punto appartiene alla chiusura di un insieme $X$ se e solo se $\forall A \in \tau$ (per ogni aperto nella topologia) che contiene il punto si ha che $A \cap X $ è diversa dall'insieme ...
Devo dimostrare la seguente proposizione
"Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico. E sia $Y \subseteq X$ un sottoinsieme di $X$. $p \in \hat(Y)$ se e solo se $\forall A \in \tau$ tale che $p \in \tau$ si ha $A \cap Y \ne \emptyset$"...
dove con $\hat(Y)$ h oindicato la chiusura di $Y$.
Ora la dimostrazione Se $p \in \hat(Y)$ allora $\forall A \in \tau$ tale che $p \in \tau$ si ha $A \cap Y \ne \emptyset$ è ok...
Il contrario invece non riesco a ...
Salve, avendo finito gli esami del primo anno circa un mese fae non sapendo bene cosa fare, mi sono messo a vedere con calma (e anche grazie alle registrazioni dei prof) alcuni argomenti di Geometria 2. Ora, proprio oggi, mentre vedevo un controesempio del fatto che un quoziente di uno spazio di Hausdorff non è necessariamente T2, mi sono chiesto se valesse questo risultato "Sia $(X, \tau)$ uno spazio topologico connesso e $A$ un sottoinsieme aperto proprio diverso dal ...
Buonasera e scusate la domanda sciocca.. ma sono agli inizi e non riesco a districarmi con gli esercizi. Provo ad illustrarvi il problema..
Ho due metriche su R^n
1) $d' (x,y) = \sum|x_i - y_i|$
2) La metrica euclidea standard , quindi data da $d(x,y) = \sqrt (\sum(x_i-y_i)^2)$
Dovrei dimostrare che sono topologicamente equivalenti....
So che due metriche topologie equivalenti se ogni aperto di una topologia appartiene anche all'altra e viceversa...
Ma so anche che affinchè le due metriche inducano due topologie ...
Sia $f: (R , \tau) \rightarrow (R, \tau)$ una mappa definita da $f(x) = x + 2\pi$.
Sia $\tau = { U \in E | \forall x \in U , sen x > 0 }$ una topologia su $R^2$, dove con $E$ ho indicato la topologica euclidea.
Vogliamo dimostrare che la mappa $f$ è continua....
Per dimostrarlo dovrei far vedere che per ogni aperto in $ U \in \tau$, $f^-1(U) \in \tau$.
Ma non saprei come proseguire per dimostrare ciò ... Cioè come faccio a dimostrare che $f^-1(U)$ è un aperto della topologia....
Come si ...
Ciao, mi sono imbattuto in questo esercizio, qualcuno saprebbe aiutarmi?
Dimostrare che per ogni L1, L2 sottospazi euclidei di uno spazio euclideo E con
dim L1 < dim L2, esistono due sottospazi euclidei L1' e L2'
tali che:
-L1' è il più piccolo tra i sottospazi contenenti L1 e ortogonali a L2
-L2' è il più grande tra i sottospazi contenuti in L2 e ortogonali a L1.
Grazie in anticipo
Sia $(X, \tau)$ un sottospazio topologico e sia $Y \subseteq X$.
Vogliamo definire una topologia su $\tau_{y}$ indotta da $\tau$ su $Y$.
Per definire la topologia consideriamo l'immersione $i: Y \rightarrow X$ e vogliamo che questa sia continua e quindi dalla definizione deve essere: per ogni aperto di $A \in X$ la controimmagine di questo aperto $i^{-1}(A)$ è un aperto di $Y$.
E fino a qui tutto ok...
Il passaggio ...
Si consideri l'applicazione lineare f : R^3 -> R^4 rappresentata dalla matrice:
$ ( ( 1 , 0 , 3 ),( -1 , 1 , 2 ),( 1 , 1 , 8 ),( 0 , h-2 , 4h ) ) $
a) calcolare la dimensione e una base di Imf al variare di h reale;
b) dire per quali valori reali di h reale f risulta iniettiva e per quali invece è suriettiva;
Potreste spiegarmi come risolvere questo esercizio?
Grazie mille in anticipo a chi mi aiuterà!
Buonasera,
ho questa distanza $d'(x,y) = \sqrt (|x-y|)$ sull'insieme $R$ e vale $\forall x, y \in R$.
Devo dimostrare che questa è effettivamente una metrica. Quindi procedo con i seguenti punti
i) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) = \sqrt(|y-x|)$ [prop. simmetrica]
ii) $\sqrt(|x-y|) = 0$ se e solo se $x = y$
iii) $\forall x, y \in R$, $\sqrt(|x-y|) >= 0$
iv) Disuguaglianza triangolare ... e qui mi blocco... la mia idea era dimostrare che $\forall x, y, z \in R$, $d'(x,y) \leq d'(x,z) + d'(y,z)$ ma non saprei come ...
Recentemente John Baez stava discutendo su twitter di questa cosa: consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione infinita (per esempio, \(\mathbb Q[X]\) come \(\mathbb Q\)-spazio vettoriale), e la successione dei suoi duali iterati:
\[V \to V^\lor \to V^{\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor\lor} \to \dots
\] Più formalmente, consideriamo \(F : \omega \to {\sf Vect}\) definito da \(F0:=V\) e \(F(i+1):=Fi^\lor\). Questa è chiaramente una catena di ...
Buonasera.
Se considero $(H_i)_(i in I) $ famiglia non vuota di sottospazi di $S$, con $S$ spazio vettoriale su un corpo $Lambda$.
Allora $<bigcup_(i in I)H_i>\={sum_(i in I)h_i: h_i in H_i, forall i in I}$
Se volessi provare l'uguaglianza devo tener presente la seguente proposizione che caratterizza i sottospazi generati
Proposizione :
$S$ spazio vettoriale, siano $X, T subseteq S$ si ha
$T=<X> <=> { ( (1) T mbox{ sottospazio vettoriale di S} ),((2) X subseteq T\ ),( (3) U mbox{ sottospazio vettoriale di S,} \qquad Xsubseteq U => T subseteq U):}$
Per provare la (2), fisso uno spazio vettoriale $H_t$ della famiglia e ...
Ciao a tutti, avrei dei dubbi nel risolvere il seguente esercizio:
scrivere nella forma $Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0$
la parabola con direttrice di equazione $y=x-2$ e fuoco in $F(-1,1)$.
Poiché la direttrice è una retta parallela alla bisettrice del primo e quarto quadrante, io avevo pensato di applicare una rotazione oraria di $\pi/4$ radianti (ovvero antioraria di $-\pi/4$), in modo da rendere la direttrice orizzontale (poiché so scrivere l'equazione di una ...
Salve, vorrei chiedervi un chiarimento su due passaggi della dimostrazione del seguente teorema.
Data una norma matriciale indotta, tale che $|A|<1$ allora $I+A$ è non singolare, e $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$.
La dimostrazione è la seguente:
Dimostriamo che $I+A$ è non singolare.
$|A|<1$ -> $\rho(A)<1$,
gli autovalori di $I+A$ sono della forma $1+\lambda_{i}$ con $\lambda_{i}$ autovalori di $A$.
Considero la relazione ...
Ciao, potete darmi una mano con questo esercizio che non riesco a fare?
Si consideri la curva $ gamma(t): (0, 2pi]-> RR^3 $ definita da $ gamma(t)=(cos^2t-1/2, sintcost, sint) $.
Ho già verificato che è una curva regolare.
Quello che non so fare è verificare che tale curva è la curva che si ottiene dall'intersezione del cilindro circolare C di raggio $1/2$ e asse di simmetria l'asse z con la sfera S di raggio $1$ e centro $(-1/2, 0, 0)$.
Posso scrivere l'equazione della sfera S, cioè ...
Salve a tutti!!
Ho alcuni dubbi su questo esercizio:
Consideriamo la superficie ottenuta ruotando intorno all’asse z la curva: $ α(t) = (3 + 2 cost, 0,sin t). $
(1) Determinare l’insieme M in cui tale superficie è regolare e descrivere le carte locali.
(2) Sia C il parallelo di M realizzato ruotando il punto $ α(0). $
(a) Verificare che il vettore $ e_3 = (0, 0, 1) $ appartenga al piano tangente ad M in ogni
punto $ p ∈ C. $
Provo a svolgerlo per quanto riesco:
(1) Parametrizzo la superficie di ...
Buongiorno, sto studiando il seguente teorema, c'è un punto che non mi è chiaro della dimostrazione che troverete più giù, ossia quando viene provato che la funzione è iniettiva.
Teorema:
Siano $S, S_1$ spazi vettoriali sinistri su un $lambda$ corpo.
Si ha $dimS=dimS_1 to S cong S_1$
Dimostrazione:
Siano $B, B_1$ basi rispettivamente di $S, S_1$.
Si ha $|B|=dimS=dimS_1=|B_1|$ allora $|B|=|B_1|,$ dunque, $g:B to B_1$ biiettiva.
Considero $f:y=sum_(x in B)alpha_(x)x in S to f(y)=sum_(x in B)alpha_(x)g(x) in S_1$
Tale ...
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