Esercizio sottospazio generato dall'unione di una famiglia non vuota di sottospazi.
Buonasera.
Se considero $(H_i)_(i in I) $ famiglia non vuota di sottospazi di $S$, con $S$ spazio vettoriale su un corpo $Lambda$.
Allora $\={sum_(i in I)h_i: h_i in H_i, forall i in I}$
Se volessi provare l'uguaglianza devo tener presente la seguente proposizione che caratterizza i sottospazi generati
Proposizione :
$S$ spazio vettoriale, siano $X, T subseteq S$ si ha
Per provare la (2), fisso uno spazio vettoriale $H_t$ della famiglia e $h_t in H_t.$
Gli $H_i$ sono sottospazi vettoriali di $S$, dunque, $0 in H_i forall i in I.$
Allora per ogni $t in I$ risulta $h_t=0*h_1+...+1*h_t+...+0*h_m$
Può andare bene la prova della (2).
Se considero $(H_i)_(i in I) $ famiglia non vuota di sottospazi di $S$, con $S$ spazio vettoriale su un corpo $Lambda$.
Allora $
Se volessi provare l'uguaglianza devo tener presente la seguente proposizione che caratterizza i sottospazi generati
Proposizione :
$S$ spazio vettoriale, siano $X, T subseteq S$ si ha
$T= <=> { ( (1) T mbox{ sottospazio vettoriale di S} ),((2) X subseteq T\ ),( (3) U mbox{ sottospazio vettoriale di S,} \qquad Xsubseteq U => T subseteq U):}$
Per provare la (2), fisso uno spazio vettoriale $H_t$ della famiglia e $h_t in H_t.$
Gli $H_i$ sono sottospazi vettoriali di $S$, dunque, $0 in H_i forall i in I.$
Allora per ogni $t in I$ risulta $h_t=0*h_1+...+1*h_t+...+0*h_m$
Può andare bene la prova della (2).
Risposte
Non ti servono gli elementi di \(\mathbb{K}\) (insomma del campo che usi).
Per semplicità suppongo per iniziare che \(I\) sia finito. In questo caso tu hai che \(\sum H_i = \{\sum_{i\in I} h_i\colon h_i\in H_i\}\) dove \(\sum_{i\in I} h_i\) è la normale somma di elementi in \(V\) (nota che non sono necessari coefficienti del campo perché gli \(H_i\) sono sottospazi).
Nel caso in cui \(I\) sia infinito, la definizione di \(\sum H_i\) va modificata in
\[\sum H_i = \biggl\{\sum_{i\in I} h_i \colon h_i\in H_i \wedge \lvert\{i\colon h_i \neq\mathbf{0}\}\rvert \text{ finito}\biggr\}\quad.\]
Tu vuoi dimostrare che \(\sum H_i = \langle \{H_i\}_{i\in I} \rangle\) e i 3 punti per farlo sono corretti, avrei usato gli stessi.
La tua dimostrazione del punto (2) è ok, anche se non tra le più chiare. Ma è un problema di notazione: con la mia notazione, ti bastava, per esempio, dire che \(\forall h_i \in H_i\), \(h_i = h_i + \sum_{j\neq i} \mathbf{0}_{H_j}\in \sum H_i\).
Per semplicità suppongo per iniziare che \(I\) sia finito. In questo caso tu hai che \(\sum H_i = \{\sum_{i\in I} h_i\colon h_i\in H_i\}\) dove \(\sum_{i\in I} h_i\) è la normale somma di elementi in \(V\) (nota che non sono necessari coefficienti del campo perché gli \(H_i\) sono sottospazi).
Nel caso in cui \(I\) sia infinito, la definizione di \(\sum H_i\) va modificata in
\[\sum H_i = \biggl\{\sum_{i\in I} h_i \colon h_i\in H_i \wedge \lvert\{i\colon h_i \neq\mathbf{0}\}\rvert \text{ finito}\biggr\}\quad.\]
Tu vuoi dimostrare che \(\sum H_i = \langle \{H_i\}_{i\in I} \rangle\) e i 3 punti per farlo sono corretti, avrei usato gli stessi.
La tua dimostrazione del punto (2) è ok, anche se non tra le più chiare. Ma è un problema di notazione: con la mia notazione, ti bastava, per esempio, dire che \(\forall h_i \in H_i\), \(h_i = h_i + \sum_{j\neq i} \mathbf{0}_{H_j}\in \sum H_i\).
"vict85":
(nota che non sono necessari coefficienti del campo perché gli \( H_i \) sono sottospazi).
Ecco, perché? la trovo anche nelle dispense da cui studio, in maniera differente, ma in sostanza si dice la stessa cosa.
Se considero due sottospazi $H, K$ di $S,$ l'insieme ${h+k :h in H, k in K}$ è un sottospazio, per verificarlo si prova la stabilità rispetto ad entrambi l'operazioni.
Perché qui non si fa ?
Se tu sai che \(H+K\) è uno spazio vettoriale, allora sai che anche \((H+K)+S\) è uno spazio vettoriale. E così via per successioni finite di spazi vettoriali. Per il caso di un insieme infinito di sottospazi vettoriali (in spazi vettoriali infinito-dimensionali) io procederei nel seguente modo: ogni somma finita di elementi di sottospazi vettoriali distinti è contenuta nell'unione di quelli sottospazi e quindi anche nell'unione di tutti i sottospazi. Qualche dubbio?
Riguardo ai coefficienti, basta ricordarsi che \(H\) e \(K\) sono chiusi per la moltiplicazione per uno scalare. Quindi se \(h\in H\) anche \(\alpha h\) è in \(H\).
Riguardo ai coefficienti, basta ricordarsi che \(H\) e \(K\) sono chiusi per la moltiplicazione per uno scalare. Quindi se \(h\in H\) anche \(\alpha h\) è in \(H\).
Vict85, grazie per la risposta. Tutto chiaro, eccetto per
"ogni somma finita di elementi di sottospazi vettoriali distinti è contenuta nell'unione di quelli sottospazi e quindi anche nell'unione di tutti i sottospazi"
questa non tanto. Suppongo di prendere i primi tre sottospazi della famiglia, e l'insieme $I$ sia un insieme di numeri, dunque $H_1, H_2, H_3 .$
Se ho capito bene, stai dicendo $h_1+h_2+h_3 in H_1cupH_2cupH_3$ questa cosa non riesco a vederla.
"ogni somma finita di elementi di sottospazi vettoriali distinti è contenuta nell'unione di quelli sottospazi e quindi anche nell'unione di tutti i sottospazi"
questa non tanto. Suppongo di prendere i primi tre sottospazi della famiglia, e l'insieme $I$ sia un insieme di numeri, dunque $H_1, H_2, H_3 .$
Se ho capito bene, stai dicendo $h_1+h_2+h_3 in H_1cupH_2cupH_3$ questa cosa non riesco a vederla.
Hai ragione: mi sono espresso male. Quello che volevo dire è che \(h_1 + h_2 + h_3 \in \langle H_1\cup H_2\cup H_3\rangle \subseteq \langle \bigcup_i H_i\rangle\).
Ok.
Allora la (2) è ok. Rimane la (1) e (3), con $I$ infinito.
Per la (1), prendo due elementi di $T$,
$sum_(i in I) h_i, h_i in H_i forall i in I $, e $sum_(i in I)k_i, k_i in H_i forall i in I $ devo verificare che $sum_(i in I) h_i+sum_(i in I) k_i in T.$
$sum_(i in I) h_i+sum_(i in I) k_i=^1sum_(i in I) (h_i+k_i)$
1) $h_i, k_i in H_i$, dove $H_i$ sottospazio di $S$ allora $h_i+k_i in H_i$, quindi, $sum_(i in I) (h_i+k_i) in T$
Mi fermo qui, perché non sono sicuro. Se tutto va bene, cioè se mi dai conferma, continua con la (3).
Allora la (2) è ok. Rimane la (1) e (3), con $I$ infinito.
Per la (1), prendo due elementi di $T$,
$sum_(i in I) h_i, h_i in H_i forall i in I $, e $sum_(i in I)k_i, k_i in H_i forall i in I $ devo verificare che $sum_(i in I) h_i+sum_(i in I) k_i in T.$
$sum_(i in I) h_i+sum_(i in I) k_i=^1sum_(i in I) (h_i+k_i)$
1) $h_i, k_i in H_i$, dove $H_i$ sottospazio di $S$ allora $h_i+k_i in H_i$, quindi, $sum_(i in I) (h_i+k_i) in T$
Mi fermo qui, perché non sono sicuro. Se tutto va bene, cioè se mi dai conferma, continua con la (3).
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