Continuità di una mappa fra spazi topologici : esercizio

[Desirio]

Sia $f: (R , \tau) \rightarrow (R, \tau)$ una mappa definita da $f(x) = x + 2\pi$.
Sia $\tau = { U \in E | \forall x \in U , sen x > 0 }$ una topologia su $R^2$, dove con $E$ ho indicato la topologica euclidea.

Vogliamo dimostrare che la mappa $f$ è continua....

Per dimostrarlo dovrei far vedere che per ogni aperto in $ U \in \tau$, $f^-1(U) \in \tau$.

Ma non saprei come proseguire per dimostrare ciò ... Cioè come faccio a dimostrare che $f^-1(U)$ è un aperto della topologia....
Come si impostano questi esercizi ?

Grazie a tutti

[marco2132k]

Ma \( \tau \) dovrebbe essere una topologia su \( \mathbb R \), giusto? (non su \( \mathbb R^2 \)). Però non è una topologia, per come l'hai scritta.

[apatriarca]

A una rapida occhiata direi che manca solo l'aggiunta di \(\mathbb R\) a \(\tau\) per essere una topologia su \(\mathbb R\) (immagine che tu abbia commesso un refuso scrivendo \(\mathbb R^2\) invece di \(\mathbb R\) nel tuo post).

Il procedimento da seguire è quello che hai scritto: dimostrare che \(f^{-1}(U)\) sia un aperto o no. La funzione inversa è semplicemente \(f^{-1}(x) = x - 2\pi\)… Per quanto riguarda \(U\) è sufficiente considerare intervalli \((a, b)\) in cui \(\sin\,x > 0\) perché ogni aperto della tua topologia (a esclusione di \(\mathbb R\)) è unione d'intervalli di questo tipo. Devi insomma chiederti se \((a - 2\pi, b - 2\pi)\) è un aperto nella tua topologia sapendo che \((a, b)\) è un intervallo come descritto prima.