Esercizio chiusura di un insieme
Sia dato il seguente insieme ${(x,y) \in R^2 | x^2 + y^2 = 1}$. Vogliamo trovare la chiusura dell'insieme con la topologia seguente definita usando il concetto di chiuso:
Sia $C_a = {(x,y) \in R^2 | xy = a}$. Un chiuso è definito come segue $C_j = \cup C_a$ con $a \in J \subseteq R$ ..
Proposizionie. Ovviamente io so che un punto appartiene alla chiusura di un insieme $X$ se e solo se $\forall A \in \tau$ (per ogni aperto nella topologia) che contiene il punto si ha che $A \cap X $ è diversa dall'insieme vuoto.
Ma in questo caso non saprei come applicare la definizione in quanto ho i chiusi nella topologia e non gli aperti...
Quindi ho pensato che la proposizione potesse valere anche per i chiusi. Da cui prendendo un punto (x,y) che sta nella chiusura di $X = {(x,y) | x^2 + y^2 = 1}$ trovo che il più piccolo chiuso che contiene questo insieme sarebbe dato da $C_j$ con $j \in [-1/\sqrt(3), 1 / \sqrt(3)]$ ...
Ho ragionato nel seguente modo :
Ho provato a fare l'intersezione dei due insiemi in modo da trovare tutte i punti (x,y) che soddisfano entrambe le condizioni
1) x^2 + y^2 = 1
2) xy = a con $a \in R$
E troverei i valori di a che variano fra $-1/sqrt(3)$ e $1\sqrt(3)$
Ma la soluzione mi da altri valori..
Potreste spiegarmi come dovrei procedere correttamente per svolgere questa tipologia d esercizi?
grazie
Sia $C_a = {(x,y) \in R^2 | xy = a}$. Un chiuso è definito come segue $C_j = \cup C_a$ con $a \in J \subseteq R$ ..
Proposizionie. Ovviamente io so che un punto appartiene alla chiusura di un insieme $X$ se e solo se $\forall A \in \tau$ (per ogni aperto nella topologia) che contiene il punto si ha che $A \cap X $ è diversa dall'insieme vuoto.
Ma in questo caso non saprei come applicare la definizione in quanto ho i chiusi nella topologia e non gli aperti...
Quindi ho pensato che la proposizione potesse valere anche per i chiusi. Da cui prendendo un punto (x,y) che sta nella chiusura di $X = {(x,y) | x^2 + y^2 = 1}$ trovo che il più piccolo chiuso che contiene questo insieme sarebbe dato da $C_j$ con $j \in [-1/\sqrt(3), 1 / \sqrt(3)]$ ...
Ho ragionato nel seguente modo :
Ho provato a fare l'intersezione dei due insiemi in modo da trovare tutte i punti (x,y) che soddisfano entrambe le condizioni
1) x^2 + y^2 = 1
2) xy = a con $a \in R$
E troverei i valori di a che variano fra $-1/sqrt(3)$ e $1\sqrt(3)$
Ma la soluzione mi da altri valori..
Potreste spiegarmi come dovrei procedere correttamente per svolgere questa tipologia d esercizi?
grazie
Risposte
"Desirio":
Ma in questo caso non saprei come applicare la definizione in quanto ho i chiusi nella topologia e non gli aperti...
Ma scusa se conosci i chiusi non sai capire quali sono gli aperti?
Si sarebbero i complementari dei chiusi... Ovviamente. Ma in questo caso penso che si potrebbero usare anche i chiusi al posto degli aperti... O più in generale gli intorni ...
Quindi niente.. Comunque a parte che mi sono rivista i calcoli e tornerebbe adesso ... Ovvero la chiusura di $X$ è $C_j$ con $j \in [-1/2, 1/2]$ ...
Ma in generale quando richiedono di trovare l'apertura / chiusura di insiemi rispetto a una data topologia quale ragionamento si dovrebbe seguire?
Quindi niente.. Comunque a parte che mi sono rivista i calcoli e tornerebbe adesso ... Ovvero la chiusura di $X$ è $C_j$ con $j \in [-1/2, 1/2]$ ...
Ma in generale quando richiedono di trovare l'apertura / chiusura di insiemi rispetto a una data topologia quale ragionamento si dovrebbe seguire?
"Desirio":
Ovvero la chiusura di $X$ è l'unione dei $C_j$ con $j \in [-1/2, 1/2]$ ...
Ma in generale quando richiedono di trovare l'apertura / chiusura di insiemi rispetto a una data topologia quale ragionamento si dovrebbe seguire?
Applicare la definizione.
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