Per dipingere uno spazio vettoriale grande
Recentemente John Baez stava discutendo su twitter di questa cosa: consideriamo uno spazio vettoriale V di dimensione infinita (per esempio, \(\mathbb Q[X]\) come \(\mathbb Q\)-spazio vettoriale), e la successione dei suoi duali iterati:
\[V \to V^\lor \to V^{\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor\lor} \to \dots
\] Più formalmente, consideriamo \(F : \omega \to {\sf Vect}\) definito da \(F0:=V\) e \(F(i+1):=Fi^\lor\). Questa è chiaramente una catena di spazi di dimensione non costante, strettamente crescente, il cui colimite però esiste nella categoria degli spazi vettoriali: chiamiamolo \(\tilde V\).
Esistono diverse costruzioni relativamente esplicite per \(\tilde V\), tuttavia per "sapere chi è" è sufficiente trovare la sua dimensione (due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, e più in generale due moduli liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango). Ora, la sua dimensione è un numero piuttosto grande, dal momento che se \(V\) ha dimensione \(\kappa\), il suo duale \(V^\lor\) ha dimensione \(|\mathbb Q|^\kappa\ge 2^\kappa\); morale, se sia la dimensione di V che la cardinalità del campo sono numerabili (e questo è il caso, per \(\mathbb Q[X]\)), la dimensione di \(\tilde V\) è \(\beth_\omega\), ossia la cardinalità dell'insieme \(\sum_{i\le \omega} \beth_i\) dove \(\beth_0:=\omega\) e \(\beth_{i+1}=2^{\beth_i}\).
Questo è un numero molto grande, e per prenderlo in mano dobbiamo accettare che ZFC sia consistente. Per oggi, non è un problema, facciamolo (io sono un matematico della scuola "prendilo in mano e mettici la lingua -o altro- dentro", non della scuola "non si può toccare niente che non hai definito").
Ora che abbiamo lo spazio, nascono un sacco di domande: chi sono tutta una serie di spazi vettoriali che possiamo attaccare a \(\tilde V\)? Per esempio:
1. Chi è lo spazio vettoriale \(\text{End}(\tilde V)\) degli endomorfismi di \(\tilde V\)?
2. Chi sono delle rappresentazioni fedeli del suo gruppo degli automorfismi?
3. Chi sono la sua algebra tensoriale e la sua algebra simmetrica?
E in cima a tutto questo, questo spazio "serve a qualcosa"? Ha un nome, salta fuori da qualche parte?
Non è difficile "rispondere" a queste domande, quello che è difficile è stabilire quale sia un livello di risposta soddisfacente: per esempio, per la prima, \(\text{End}(\tilde V) \cong \tilde V^\lor\otimes \tilde V\), che quindi ha dimensione \(\dim(\tilde V^\lor)\cdot \dim \tilde V = \dim \tilde V^\lor\); questo mi sembra un fatto generale, cioè vero non appena V ha dimensione infinita, eppure è un po' controintuitivo pensare che ogni endomorfismo di V si possa rappresentare -sebbene non canonicamente- come un covettore. Questo è falso in dimensione finita, perché è falso che \(n^2=n\)!
Per quanto riguarda la seconda parte della domanda 3, l'algebra dei tensori simmetrici di \(\tilde V\) è "semplicemente" l'anello dei polinomi su \(\beth_\omega\) indeterminate; del resto, chi ha mai avuto bisogno di questo anello? (La domanda è sincera: c'è qualcuno che ne ha fatto uso?)
E così via. Ovviamente, ci saranno altre domande su \(\tilde V\) che non appaiono in questa lista; se vi vengono in mente, fatele.
\[V \to V^\lor \to V^{\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor} \to V^{\lor\lor\lor\lor\lor} \to \dots
\] Più formalmente, consideriamo \(F : \omega \to {\sf Vect}\) definito da \(F0:=V\) e \(F(i+1):=Fi^\lor\). Questa è chiaramente una catena di spazi di dimensione non costante, strettamente crescente, il cui colimite però esiste nella categoria degli spazi vettoriali: chiamiamolo \(\tilde V\).
Esistono diverse costruzioni relativamente esplicite per \(\tilde V\), tuttavia per "sapere chi è" è sufficiente trovare la sua dimensione (due spazi vettoriali sono isomorfi se e solo se hanno la stessa dimensione, e più in generale due moduli liberi sono isomorfi se e solo se hanno lo stesso rango). Ora, la sua dimensione è un numero piuttosto grande, dal momento che se \(V\) ha dimensione \(\kappa\), il suo duale \(V^\lor\) ha dimensione \(|\mathbb Q|^\kappa\ge 2^\kappa\); morale, se sia la dimensione di V che la cardinalità del campo sono numerabili (e questo è il caso, per \(\mathbb Q[X]\)), la dimensione di \(\tilde V\) è \(\beth_\omega\), ossia la cardinalità dell'insieme \(\sum_{i\le \omega} \beth_i\) dove \(\beth_0:=\omega\) e \(\beth_{i+1}=2^{\beth_i}\).
Questo è un numero molto grande, e per prenderlo in mano dobbiamo accettare che ZFC sia consistente. Per oggi, non è un problema, facciamolo (io sono un matematico della scuola "prendilo in mano e mettici la lingua -o altro- dentro", non della scuola "non si può toccare niente che non hai definito").
Ora che abbiamo lo spazio, nascono un sacco di domande: chi sono tutta una serie di spazi vettoriali che possiamo attaccare a \(\tilde V\)? Per esempio:
1. Chi è lo spazio vettoriale \(\text{End}(\tilde V)\) degli endomorfismi di \(\tilde V\)?
2. Chi sono delle rappresentazioni fedeli del suo gruppo degli automorfismi?
3. Chi sono la sua algebra tensoriale e la sua algebra simmetrica?
E in cima a tutto questo, questo spazio "serve a qualcosa"? Ha un nome, salta fuori da qualche parte?
Non è difficile "rispondere" a queste domande, quello che è difficile è stabilire quale sia un livello di risposta soddisfacente: per esempio, per la prima, \(\text{End}(\tilde V) \cong \tilde V^\lor\otimes \tilde V\), che quindi ha dimensione \(\dim(\tilde V^\lor)\cdot \dim \tilde V = \dim \tilde V^\lor\); questo mi sembra un fatto generale, cioè vero non appena V ha dimensione infinita, eppure è un po' controintuitivo pensare che ogni endomorfismo di V si possa rappresentare -sebbene non canonicamente- come un covettore. Questo è falso in dimensione finita, perché è falso che \(n^2=n\)!
Per quanto riguarda la seconda parte della domanda 3, l'algebra dei tensori simmetrici di \(\tilde V\) è "semplicemente" l'anello dei polinomi su \(\beth_\omega\) indeterminate; del resto, chi ha mai avuto bisogno di questo anello? (La domanda è sincera: c'è qualcuno che ne ha fatto uso?)
E così via. Ovviamente, ci saranno altre domande su \(\tilde V\) che non appaiono in questa lista; se vi vengono in mente, fatele.
Risposte
Ma che ne sanno i duemila!
"megas_archon":
Ma che ne sanno i duemila!
Giusto... Allora un riferimento più recente.
"megas_archon":
Per dipingere uno spazio vettoriale grande
Carlo Conti: "Cosa vuoi fare da grande?"
Bimba concorrente allo Zecchino d'Oro: "L'imbianchino astratto."
...non dovrebbe essere off topic dopo il secondo messaggio che non risponde al thread di partenza?
"gugo82":
[quote="megas_archon"]...non dovrebbe essere off topic dopo il secondo messaggio che non risponde al thread di partenza?
Pensi che qualcuno -a parte te stesso tra qualche giorno/mese/anno- risponderà a breve in questo thread?
La faccenda è interessante, ma, così "ad occhio", il $tilde(V)$ che hai costruito è uno spazio che ha dentro troppa roba...
Chissà, tra qualche tempo scopriremo che è un oggetto di cui non sapevamo di avere bisogno, ma che invece è necessario ed indispensabile (casomai sarai tu a spiegarcelo, viste le tue innegabili doti divulgative); tuttavia per ora dubito che qualcuno voglia buttarsi a capofitto nella questione.[/quote]
"megas_archon":Sì, di solito funziona così quando fai una domanda su un forum.
[quote="gugo82"]...non dovrebbe essere off topic dopo il secondo messaggio che non risponde al thread di partenza?
Pensi che qualcuno -a parte te stesso tra qualche giorno/mese/anno- risponderà a breve in questo thread?
La faccenda è interessante, ma, così "ad occhio", il $tilde(V)$ che hai costruito è uno spazio che ha dentro troppa roba...Prendi questa domanda: se V ha dimensione infinita, il suo duale ha la stessa dimensione di \(\text{End}(V)\); non mi ero mai accorto che questo fosse vero (è vero?), e se è vero c'è qualcosa che mi sfugge: significa che dato un operatore lineare \(T : V\to V\) esso è della forma \(\alpha_T : V \to K\) per un unico \(\alpha_T\) (non canonicamente costruito, ma è ugualmente controintuitivo che questo sia possibile). Chiunque sappia un po' di analisi funzionale deve o aver visto questo fatto, o sapermi dire dove sbaglio (l'unico punto che potrebbe saltare è che la dimensione di \(V^\lor\otimes V\) è il prodotto delle dimensioni dei due anche quando queste sono cardinali infiniti).
casomai sarai tu a spiegarcelo, viste le tue innegabili doti divulgativeBeh, capisco tutto, ma ora non offendiamo...[/quote]
gugo82 ha scritto.
Pensi che qualcuno -a parte te stesso tra qualche giorno/mese/anno- risponderà a breve in questo thread?[/quote] Sì, di solito funziona così quando fai una domanda su un forum.[/quote]
Touché.
Il problema è "il" in "il suo duale", soprattutto se vuoi considerare qualche spazio vettoriale 'decente' (con qualche struttura in più di quella puramente algebrica, e.g., quelli di Bach o quelli topologici) e non i polinomi.
Di duali ce ne sono due, uno "bello" (quello 'topologico', dei funzionali lineari limitati) ed uno "brutto" (quello 'algebrico', dei funzionali lineari).
Mentre in dimensione finita i due duali coincidono, in dimensione infinita quello "brutto" è sempre più grande (se non ricordo male, parecchio più grande, ma sono cose di millenni fa) di quello "bello", e non ha neanche una struttura 'decente'.
Perciò il duale "brutto" (che non a caso è quello algebrico ) viene usualmente evitato da chi l'Analisi Funzionale la usa per risolvere problemi concreti.
A quanto mi sembra di capire, quello che viene chiesto riguarda solo la struttura algebrica, quindi l'Analisi Funzionale c'entra solo marginalmente.
Ma no, dai, non ti sottovalutare.
Questo scambio mi ricorda quella vecchia battuta:
"megas_archon":
[quote="gugo82"][quote="megas_archon"]...non dovrebbe essere off topic dopo il secondo messaggio che non risponde al thread di partenza?
Pensi che qualcuno -a parte te stesso tra qualche giorno/mese/anno- risponderà a breve in questo thread?[/quote] Sì, di solito funziona così quando fai una domanda su un forum.[/quote]
Touché.
"megas_archon":La faccenda è interessante, ma, così "ad occhio", il $tilde(V)$ che hai costruito è uno spazio che ha dentro troppa roba...Prendi questa domanda: se V ha dimensione infinita, il suo duale ha la stessa dimensione di \(\text{End}(V)\); non mi ero mai accorto che questo fosse vero (è vero?), e se è vero c'è qualcosa che mi sfugge: significa che dato un operatore lineare \(T : V\to V\) esso è della forma \(\alpha_T : V \to K\) per un unico \(\alpha_T\) (non canonicamente costruito, ma è ugualmente controintuitivo che questo sia possibile). Chiunque sappia un po' di analisi funzionale deve o aver visto questo fatto, o sapermi dire dove sbaglio (l'unico punto che potrebbe saltare è che la dimensione di \(V^\lor\otimes V\) è il prodotto delle dimensioni dei due anche quando queste sono cardinali infiniti).
Il problema è "il" in "il suo duale", soprattutto se vuoi considerare qualche spazio vettoriale 'decente' (con qualche struttura in più di quella puramente algebrica, e.g., quelli di Bach o quelli topologici) e non i polinomi.
Di duali ce ne sono due, uno "bello" (quello 'topologico', dei funzionali lineari limitati) ed uno "brutto" (quello 'algebrico', dei funzionali lineari).
Mentre in dimensione finita i due duali coincidono, in dimensione infinita quello "brutto" è sempre più grande (se non ricordo male, parecchio più grande, ma sono cose di millenni fa) di quello "bello", e non ha neanche una struttura 'decente'.
Perciò il duale "brutto" (che non a caso è quello algebrico
) viene usualmente evitato da chi l'Analisi Funzionale la usa per risolvere problemi concreti.A quanto mi sembra di capire, quello che viene chiesto riguarda solo la struttura algebrica, quindi l'Analisi Funzionale c'entra solo marginalmente.
"megas_archon":casomai sarai tu a spiegarcelo, viste le tue innegabili doti divulgativeBeh, capisco tutto, ma ora non offendiamo...
Ma no, dai, non ti sottovalutare.
Questo scambio mi ricorda quella vecchia battuta:
Operaio in cantiere: "Vedete, geometra, qua dobbiamo fare per forza così..."
Ingegnere: "Scusi, gliel'ho già detto: sono ingegnere, non geometra!"
Operaio: "E vabbè, ingegne', non vi preoccupate! Diventerete pure geometra."
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