Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve, vorrei chiedervi un chiarimento su due passaggi della dimostrazione del seguente teorema.
Data una norma matriciale indotta, tale che $|A|<1$ allora $I+A$ è non singolare, e $|(I+A)^{-1}|<=frac{1}{1-|A|}$.
La dimostrazione è la seguente:
Dimostriamo che $I+A$ è non singolare.
$|A|<1$ -> $\rho(A)<1$,
gli autovalori di $I+A$ sono della forma $1+\lambda_{i}$ con $\lambda_{i}$ autovalori di $A$.
Considero la relazione ...
Ciao, potete darmi una mano con questo esercizio che non riesco a fare?
Si consideri la curva $ gamma(t): (0, 2pi]-> RR^3 $ definita da $ gamma(t)=(cos^2t-1/2, sintcost, sint) $.
Ho già verificato che è una curva regolare.
Quello che non so fare è verificare che tale curva è la curva che si ottiene dall'intersezione del cilindro circolare C di raggio $1/2$ e asse di simmetria l'asse z con la sfera S di raggio $1$ e centro $(-1/2, 0, 0)$.
Posso scrivere l'equazione della sfera S, cioè ...
Salve a tutti!!
Ho alcuni dubbi su questo esercizio:
Consideriamo la superficie ottenuta ruotando intorno all’asse z la curva: $ α(t) = (3 + 2 cost, 0,sin t). $
(1) Determinare l’insieme M in cui tale superficie è regolare e descrivere le carte locali.
(2) Sia C il parallelo di M realizzato ruotando il punto $ α(0). $
(a) Verificare che il vettore $ e_3 = (0, 0, 1) $ appartenga al piano tangente ad M in ogni
punto $ p ∈ C. $
Provo a svolgerlo per quanto riesco:
(1) Parametrizzo la superficie di ...
Buongiorno, sto studiando il seguente teorema, c'è un punto che non mi è chiaro della dimostrazione che troverete più giù, ossia quando viene provato che la funzione è iniettiva.
Teorema:
Siano $S, S_1$ spazi vettoriali sinistri su un $lambda$ corpo.
Si ha $dimS=dimS_1 to S cong S_1$
Dimostrazione:
Siano $B, B_1$ basi rispettivamente di $S, S_1$.
Si ha $|B|=dimS=dimS_1=|B_1|$ allora $|B|=|B_1|,$ dunque, $g:B to B_1$ biiettiva.
Considero $f:y=sum_(x in B)alpha_(x)x in S to f(y)=sum_(x in B)alpha_(x)g(x) in S_1$
Tale ...
Salve, ho due dubbi sul calcolo del primo modulo di coomologia di de Rham di $S^1$.
1) Il mio professore parte dalla seguente osservazione. Visto che \(\pi\colon \theta\in \mathbb R\mapsto (\cos\theta,\sin \theta)\) è una sommersione, \(\pi^\ast\colon \Omega^1(S^1)\to \Omega(\mathbb R)\) è un monomorfismo, dunque "possiamo identificare le $1$-forme sul cerchio con le $1$-forme su $\mathbb R$ che sono $2\pi$-periodiche".
Quest'ultima ...
Scusate per le domande banali, ma ho iniziato da poco ad avvicinarmi all'algebra lineare, mi chiedevo se uno spazio vettoriale ha una base di $n$ elementi,è possibile che esistano benissimo altri insiemi di vettori sempre in numero di $n$, linearmente indipendenti ma che non siano generatori dello spazio?
buongiorno ho un problema non riesco a capire come svolgere questo esercizio la traccia dice
Puo esistere un omomorfismo ft : R3 → R3 che mandi il piano di equazioni 2x − y + z = 0 nella retta {s(1, −1, 2) : s ∈ R} ed il vettore (1, 1, 1) nel vettore (1, t + 2, t + 5), t ∈ R se esiste calcolarne la matrice associata e dire per quali valori di t esso non esiste per favore aiuto
ho provato a trasformare il piano in forma parametrica per ricavarne due vettori indipendenti della base ma poi non ...
Ciao a tutti, dei quesiti del concorso docenti di venerdì ce n'è uno che non so risolvere in poco tempo (tenete a mente che il tempo concesso era di due minuti a domanda).
Data la retta $r:y=x+2$ e la circonferenza $\gamma:x^2+y^2=1$ classificare il luogo geometrico dei punti equidistanti da $\gamma$ e $r$.
Si può facilmente dire che la distanza di un generico punto del piano dal centro di $\gamma$ a cui se ne sottrae il raggio di $\gamma$ è ...
Ciao a tutti, sto studiando per un esame e sono incappato in un esercizio che non riesco a capire:
Sia $T: R^3 -> R^2$ un'applicazione lineare tale che
T= $ ( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) ) = ( ( 1 ),( -2 ) ) $
T= $ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) = ( ( 2 ),( -1 ) ) $
T= $ ( ( 0 ),( 1 ),( 0 ) ) = ( ( 0 ),( 1 ) ) $
allora
T= $ ( ( 2 ),( 1 ),( 1 ) ) = $
A. $( ( 4 ),( -7 ) )$
B. $( ( 0 ),(-1 ) )$
C. $( ( 3 ),( -2 ) )$
io so che la risposta giusta è la A, ma non riesco a capire i passaggi da svolgere... un aiutino?
Salve ragazzi,
durante la risoluzione di un problema di matematica applicata, mi sono imbattuto in questo fatto che non mi torna.
In uno spazio descritto da coordinate cilindriche (r, $theta$, z), abbiamo una densità di corrente $S= - a/2 r e_r$, essendo $e_r$ vettore della base, e dobbiamo calcolarne la quantità di sorgenti/pozzi.
Allora, io sono andato sicuro con la divergenza: $\nabla S = dS_r/dr = - a/2 $ che dovrebbe essere la densità di sorgenti.
Nella soluzione del problema ...
Salve a tutti. Tempo fa ho scritto una domanda su tale argomento. Purtroppo non ho capito bene le dritte che mi sono state segnalate. Comunque il dubbio che non ho risolto è quello di dedurre i numeri naturali dal sistema di assiomi di hilbert (visto che questo deve essere equivalente al sistema dei numeri reali). Il punto è il seguente. I numeri naturali dovrebbero scaturire dai multipli di un segmento. Un esempio di statement che fa uso del "linguaggio" dei multipli di un segmento è l'assioma ...
Buonasera, sono abbastanza disperato su codesto esercizio.
Infatti, partendo dalla matrice data, non riesco a comprendere il seguente esercizio e cercando in rete non ho trovato praticamente nulla.
Qualcuno potrebbe spiegarmi con quali elementi della matrice sono identificati i nodi e come vengono trovati i "nodi raggiungibili"?
Pensavo fossero gli elementi della matrice $a_(i,j) !=0$, ma a quanto pare non è cosi (per esempio $a_(4,5)=0$ma per l'esempio tutti i nodi sono ...
Buongiorno, a lezione abbiamo visto che una matrice $A$ a valori in $CC$ è irriducibile sse il grafo associato è fortemente connesso.
Ma ora, nell'atto pratico data una matrice $B$ di dimensione $n x n$ in $CC$, come posso fare per vedere se è irriducibile?
Non mi è molto chiaro!
Grazie
Buongiorno a tutti,
sto facendo un esercizio nel quale devo dimostrare che la superficie $ Ssub RR^3 $ data da $ S={(x,y,z)in R^3 |x+2y>0, z=log(x+2y)} $ è regolare e orientabile.
Quindi per prima cosa devo trovare una sua parametrizzazione e siccome è il primo esercizio di questo tipo che faccio, ho un dubbio proprio su questa:
è corretto prendere, per esempio,
$ U={(x,y)in RR^2|x+2y>0} $
$ X:UinRR^3 ->S $ tale che $ X(u,v)=(u, v, log(u+2v)) $ ?
Ciao,
Sto studiando il seguente fascio di coniche $$x^2-ky^2+2kxy-4=0$$ al variare del parametro $k$.
Per $k=1$, trovo la seguente iperbole equilatera: $$x^2-y^2+2xy-4=0$$.
Per studiarla (trovare fuochi, vertici e asintoti) ho ragionato su come riscriverla dapprima in forma canonica, ossia:
$$x^2-y^2=\pm a^2$$
ma non sono riuscito.
Avete qualche idea?
La somma di infiniti addendi ha raramente senso. Prendi lo spazio vettoriale dei polinomi in una indeterminata, a coefficienti reali. Prendi \((H_i=\langle X^i\rangle\) (e \(I=\mathbb N\), quindi \(H_1\) è il sottospazio generato da $X$, $H_2$ quello generato da \(X^2\) e così via).
Se ammetti somme infinite nella tua "definizione" di sottospazio generato dagli \(H_i\), l'elemento \(1+X+X^2+X^3+\dots\) dovrebbe appartenere al sottospazio \(\langle \bigcup ...
Buonasera, sto provando a svolgere il seguente esercizio:
Sia data un'applicazione lineare $f:V to W$ suriettiva.
Si consideri $H={v in V : f(v) in Z}$ con $ZsubseteqW$.
Bisogna dimostrare che la $dimH=dimZ+dimV-dimW.$
Sto provando a svolgerlo nel seguente modo, innanzitutto, da$dimH=dimZ+dimV-dimW$, segue $dimV-dimH=dimW-dimZ.$
Poi osservo $H ,Z $sono rispettivamente sottospazi vettoriali di $V,W$ e dalla semi semplicità degli spazi vettoriali ho l'esistenza di ...
Devo scrivere un'equazione per l'ellisse avente fuochi in \(\displaystyle A(0,1) \) e \(\displaystyle B(2,3) \) e passante per il punto \(\displaystyle C(0,3) \).
Di seguito descrivo come ho proceduto per cercare di trovare l'equazione canonica \(\displaystyle \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \).
Sapendo che un'ellisse è descritta da \(\displaystyle \overline{PF} + \overline{PF'} = 2a\) (con \(\displaystyle a \) semiasse maggiore), trovo \(\displaystyle \overline{CA} + \overline{CB} = ...
Salve a tutti,
Mi sto scervellando su questo argomento:
ho capito che un generico vettore $A$ nel piano ha due coordinate, $[x,y]$ le quali variano se si cambia la base. Consideriamo la base canonica $S = {e_1, e_2}$. Le due coordinate sono applicate ai due vettori di base $e_1$ and $e_2$per dilatarli o accorciarli. Ll vettore $A$ e' rappresentato come somma vettoriale dei due vettori di base: $A= x e_1 + y e_2$. Tutto ...
Vorrei capire (se c'è) qual'è la differenza tra un punto e un vettore quando scrivo $(1,1)$, ma proprio solo a livello qualitativo.
Potrei scrivere $P=(1,1)$ e quindi intendo disegnare un singolo punto nel piano $xy$, se invece scrivo $\vec v=(1,1)$ faccio una freccia dall' origine al punto $(1,1)$ sempre in $xy$.
Ma se io scrivo solo $(1,1)$ senza specificare cos'è, come si fa a sapere se intendo un punto o un vettore?
O ...
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