Equazione cartesiana e parametrica di una retta.. dove sbaglio?

[21zuclo]

Ciao a tutti in un esercizio che ho svolto, mi dava una retta nella sua forma cartesiana. Io per esercizio l'ho voluta trasformare in equazione parametrica, e per vedere se avevo fatto giusto, ho fatto il viceversa. Ma l'equazione cartesiana, mi viene diversa. Aiutatemi a capire dove sbaglio. Grazie in anticipo

Equazione della retta $ r:{ ( 3x-y-z-2=0 ),( 5x-2y-z-1=0 ):} $

ora la trasformo in parametrica ponendo $z=t$

$ { ( 3x-y-t-2=0 ),( 5x-2y-t-1=0 ),( z=t ):}\to { ( x=(y+t+2)/(3) ),( y=(-5x+t+1)/(-2) ),( z=t ):} \to$

$ \to{ ( x=(y+t+2)/(3) ),( y=(-5((y+t+2)/(3))+t+1)/(-2) ),( z=t ):} $

$ y=(-5((y+t+2)/(3))+t+1)/(-2)\to y=((-5y-5t-10+3t+3)/(3))/(-2)\to y=-(-5y-2t-7)/(6) \to$

$ \to 6y=5y+2t+7\to y=7+2t $

quindi
$ { ( x=(y+t+2)/(3) ),( y=7+2t ),( z=t ):}\to { ( x=(7+2t+t+2)/(3) ),( y=7+2t ),( z=t ):} \to{ ( x=3+t ),( y=7+2t ),( z=t ):} $

Ora quando vado a fare il viceversa
${ ( x=3+t ),( y=7+2t ),( z=t ):} $ $ { ( t=x-3 ),( t=(y-7)/(2) ),( t=z ):}\to x-3=(y-7)/(2)=t $

Questa non è l'equazione cartesiana di partenza, dove ho sbagliato?

[Vispissima]

Non vorrei dire una cavolata ma ti risponderei che le equazioni cartesiane di una retta non sono uniche;

infatti il sistema che ti da le equazioni della retta indica una retta come intersezione di due piani e come ben puoi capire per una retta non passano solo due piani, ne passano infiniti che formano un fascio.

[21zuclo]

ah già il fascio di piani!.. ora ricordo!

avevo scritto (nei miei appunti), che se ho 2 piani

$\pi_1 : ax+by+cz+d=0$ e $\pi_2: a'x+b'y+c'z+d=0$

allora $\forall \lambda,\mu \in RR $ si ha $\lambda(ax+by+cz+d)+\mu(a'x+b'y+c'z+d)=0$

ottengo dei fasci di piani!

Cavolo me l'ero scordato.

sto caldo gioca brutti scherzi!