Equazioni della proiettività
Salve ragazzi ho difficoltà nel risolvere questo esercizio.
Determina le equazioni di una proiettività non identica $ psi P^2rarr P^2 $ tale che il punto $ P [1,0,1] $ sia fisso e la retta di equazione $ X1+X2=0 $ sia fissa punto a punto.
Allora per risolverlo ho trovato due punti appartenenti alla retta $ A[0,1,-1] $ e $ B [1,0,0] $.Ora però non ho proprio idea su come procedere!!
Determina le equazioni di una proiettività non identica $ psi P^2rarr P^2 $ tale che il punto $ P [1,0,1] $ sia fisso e la retta di equazione $ X1+X2=0 $ sia fissa punto a punto.
Allora per risolverlo ho trovato due punti appartenenti alla retta $ A[0,1,-1] $ e $ B [1,0,0] $.Ora però non ho proprio idea su come procedere!!
Risposte
Il problema equivale a determinare l'applicazione lineare $f:mathbb{R^3}-mathbb{R^3}$ di cui sono noti gli autovettori
P,A,B e di cui indichiamo genericamente con p,a,b gli autovalori corrispondenti:
\(\displaystyle \begin{cases}f(P)=pP\\f(A)=aA\\f(B)=bB \end{cases} \)
Supponendo che p,a,b siano tutti distinti, allora ( com'è noto) risulta:
(1) $M=N^{-1}SN$
dove M è la matrice diagonale ( che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli della diagonale principale che sono uguali agli autovalori p,a,b ), N è la matrice che porta nelle 3 colonne i 3 autovettori P,A,B mentre S è la matrice ( incognita ) associata ad f.
Dalla (1) si ricava che :
$S=NMN^{-1}$
Nel nostro caso risulta :
$S= ((1 ,0, 1),(0, 1, 0),(1, -1, 0)) cdot ((p,0,0),(0,a,0),(0,0,b)) cdot ((1 ,0, 1),(0, 1, 0),(1, -1, 0))^{-1}$
Facendo i calcoli opportuni si ha :
$S=((b,p-b,p-b),(0,a,0),(0,p-a,p))$
Pertanto, indicando con $rho$ un fattore di proporzionalità non nullo, si hanno le equazioni della proiettività :
\(\displaystyle \begin{cases}\rho X'_o=bX_o+(p-b)X_1+(p-b)X_2\\ \rho X'_1=0X_o+aX_1+0X_2\\ \rho X'_2=0X_o+(p-a)X_1+pX_2 \end{cases} \)
Poiché le precedenti equazioni variano in rapporto a come si scelgono p,a,b allora non v'è una sola soluzione. Volendo una certa proiettività occorre particolarizzare p,a,b.
P,A,B e di cui indichiamo genericamente con p,a,b gli autovalori corrispondenti:
\(\displaystyle \begin{cases}f(P)=pP\\f(A)=aA\\f(B)=bB \end{cases} \)
Supponendo che p,a,b siano tutti distinti, allora ( com'è noto) risulta:
(1) $M=N^{-1}SN$
dove M è la matrice diagonale ( che ha tutti gli elementi nulli tranne quelli della diagonale principale che sono uguali agli autovalori p,a,b ), N è la matrice che porta nelle 3 colonne i 3 autovettori P,A,B mentre S è la matrice ( incognita ) associata ad f.
Dalla (1) si ricava che :
$S=NMN^{-1}$
Nel nostro caso risulta :
$S= ((1 ,0, 1),(0, 1, 0),(1, -1, 0)) cdot ((p,0,0),(0,a,0),(0,0,b)) cdot ((1 ,0, 1),(0, 1, 0),(1, -1, 0))^{-1}$
Facendo i calcoli opportuni si ha :
$S=((b,p-b,p-b),(0,a,0),(0,p-a,p))$
Pertanto, indicando con $rho$ un fattore di proporzionalità non nullo, si hanno le equazioni della proiettività :
\(\displaystyle \begin{cases}\rho X'_o=bX_o+(p-b)X_1+(p-b)X_2\\ \rho X'_1=0X_o+aX_1+0X_2\\ \rho X'_2=0X_o+(p-a)X_1+pX_2 \end{cases} \)
Poiché le precedenti equazioni variano in rapporto a come si scelgono p,a,b allora non v'è una sola soluzione. Volendo una certa proiettività occorre particolarizzare p,a,b.
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