Matrice diagonalizzabile per valori del parametro
stavo svolgendo un esercizio di un tema d'esame in cui dovevo trovare i valori di k per i quali la matrice fosse diagonalizzabile.
la matrice iniziale è $ ( ( -3 , 13+k , 3-k ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , k+1 , 3+2k ) ) $
trovo il polinomio caratteristico
(-3-λ)(1-λ)(3+2k-λ)
procedo a vedere se anche per i valori k=-1 e k=-3 la matrice è diagonalizzabile
trovo senza problemi che per k=-3 molteplicità algebrica e geometrica sono diverse e quindi la matrice non diagonalizzabile.
il mio problema giunge per k=-1 la soluzione dell'esercizio dice che la matrice è diagonalizzabile per valori di $ k!= -3 $ ma a me esce che anche per k=-1 non è diagonalizzabile e non riesco a trovare il mio errore.
dapprima ho sostituito k=-1 nella matrice iniziale che è diventata
$ ( ( -3 , 12 , 4 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
successivamente ho sommato alla matrice trovata la matrice identità moltiplicata per il valore λ=-1 ed ho trovato
$ ( ( -4 , 12 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
trovata questa matrice cerco l'autospazio relativo che mi viene in 3 incognite e quindi di dimensione 3 diversa dalla molteplicità algebrica.
finalmente la domanda: Dove ho sbagliato?
la matrice iniziale è $ ( ( -3 , 13+k , 3-k ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , k+1 , 3+2k ) ) $
trovo il polinomio caratteristico
(-3-λ)(1-λ)(3+2k-λ)
procedo a vedere se anche per i valori k=-1 e k=-3 la matrice è diagonalizzabile
trovo senza problemi che per k=-3 molteplicità algebrica e geometrica sono diverse e quindi la matrice non diagonalizzabile.
il mio problema giunge per k=-1 la soluzione dell'esercizio dice che la matrice è diagonalizzabile per valori di $ k!= -3 $ ma a me esce che anche per k=-1 non è diagonalizzabile e non riesco a trovare il mio errore.
dapprima ho sostituito k=-1 nella matrice iniziale che è diventata
$ ( ( -3 , 12 , 4 ),( 0 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 1 ) ) $
successivamente ho sommato alla matrice trovata la matrice identità moltiplicata per il valore λ=-1 ed ho trovato
$ ( ( -4 , 12 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
trovata questa matrice cerco l'autospazio relativo che mi viene in 3 incognite e quindi di dimensione 3 diversa dalla molteplicità algebrica.
finalmente la domanda: Dove ho sbagliato?
Risposte
"alessandro34":
successivamente ho sommato alla matrice trovata la matrice identità moltiplicata per il valore λ=-1 ed ho trovato
$ ( ( -4 , 12 , 4 ),( 0 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , 0 ) ) $
trovata questa matrice cerco l'autospazio relativo che mi viene in 3 incognite e quindi di dimensione 3 diversa dalla molteplicità algebrica.
finalmente la domanda: Dove ho sbagliato?
Quella matrice ha rango uno, quindi il nucleo ha dimensione 2 (come può avere dimensione tre? Vorrebbe dire che la matrice è la matrice nulla!). Di conseguenza molteplicità algebrica e geometrica coincidono per l'autovalore 1 e idem per l'autovalore $-3$. Quindi è diagonalizzabile.
In tal caso cambio domanda...Ho notato anche io che la matrice aveva rango 1 e quindi non capivo come fosse possibile che l'autospazio avesse dimensione 3 tuttavia se moltiplico i vettori della matrice per la matrice $ ( ( x ),( y ),( z ) ) $ mi viene
-4x+12y+4z=0 che ha dimensione 3 . Non riesco a capire dove sbaglio
-4x+12y+4z=0 che ha dimensione 3 . Non riesco a capire dove sbaglio
Ma che cosa vuol dire che un'equazione ha dimensione 3?
Hai un'equazione, non nulla, in tre incognite. Tre meno uno dà due: due parametri liberi (che so metti $x=s, y=t$) e ricavi la $z$ in funzione delle altre. To sum up, la dimensione dello spazio delle soluzioni (il kernel) ha dimensione 2.
Più chiaro?
Hai un'equazione, non nulla, in tre incognite. Tre meno uno dà due: due parametri liberi (che so metti $x=s, y=t$) e ricavi la $z$ in funzione delle altre. To sum up, la dimensione dello spazio delle soluzioni (il kernel) ha dimensione 2.
Più chiaro?
intendevo che lo spazio delle soluzioni aveva dimensione 3 ma solo perchè non consideravo di avere a disposizione 2 parametri liberi e ne consiedravo solo uno.grazie mille per la spiegazione
Figurati, è stato un piacere. Buono studio e buona permanenza tra noi.
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