Applicazione rispetto al dominio e codominio
Salve ragazzi,e buone vacanze(per chi non deve studiare)...sono mesi che
sto fermo su questo esercizio,e sto letteralmente impazzendo
,
c'è qualcuno che mi potrebbe dare una mano
soprattutto dal punto di vista pratico ??
Sia data la base
B={ $((1),(0),(1))$ , $((0),(1),(1))$ , $((0),(1),(0))$ }
di R^3 e sia f:R^3--->R^3 l'applicazione lineare definita da
f$((x1),(x2),(x3))$ = $((x1+x2+x3),(x1-x2),(2x2+x3))$
1)si scriva la matrice che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica di R^3
nel dominio e nel codominio.
2)Si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio.
Per quanto riguarda il punto numero 1 mi trovo:
$((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))$
Come si risolve il punto numero 2???Io ho pensato di fare una combinazione lineare
tra una base B con la matrice,cioè:
(1,0,1)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
(0 1 1)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
(0 1 0)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
e una volta che ho risolto il sistema trovo altre 3 basi...secondo voi è giusto come ho fatto io
o c'è un altro metodo??Help me
sto fermo su questo esercizio,e sto letteralmente impazzendo
,c'è qualcuno che mi potrebbe dare una mano
soprattutto dal punto di vista pratico ??
Sia data la base
B={ $((1),(0),(1))$ , $((0),(1),(1))$ , $((0),(1),(0))$ }
di R^3 e sia f:R^3--->R^3 l'applicazione lineare definita da
f$((x1),(x2),(x3))$ = $((x1+x2+x3),(x1-x2),(2x2+x3))$
1)si scriva la matrice che rappresenta l'applicazione f rispetto alla base canonica di R^3
nel dominio e nel codominio.
2)Si scriva la matrice che rappresenta f rispetto alla base B nel dominio e nel codominio.
Per quanto riguarda il punto numero 1 mi trovo:
$((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))$
Come si risolve il punto numero 2???Io ho pensato di fare una combinazione lineare
tra una base B con la matrice,cioè:
(1,0,1)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
(0 1 1)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
(0 1 0)=a(1 1 1)+b(1 -1 0)+c(0 2 1)
e una volta che ho risolto il sistema trovo altre 3 basi...secondo voi è giusto come ho fatto io
o c'è un altro metodo??Help me
Risposte
Ci sono un paio di metodi che risolvono il tuo quesito. Il più diretto è quello che si appoggia alla formula:
$A'=M_{B'}^{-1}\cdot A\cdot M_B$
dove :
$A'$ è la matrice che si cerca
$M_{B'}$ è la matrice le cui colonne sono i vettori componenti la base $ B'$ di arrivo
$A$ è la matrice data
$M_{B}$ è la matrice le cui colonne sono i vettori componenti la base B di partenza
Nel tuo caso B e B' coincidono ed A è la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. Pertanto è :
$A'=((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0))^{-1} ((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0))$
Facendo i dovuti calcoli dovrebbe risultare come segue:
$A'=((2,2,1),(-1,1,1),(2,-2,-2))$
[Fai la verifica...]
$A'=M_{B'}^{-1}\cdot A\cdot M_B$
dove :
$A'$ è la matrice che si cerca
$M_{B'}$ è la matrice le cui colonne sono i vettori componenti la base $ B'$ di arrivo
$A$ è la matrice data
$M_{B}$ è la matrice le cui colonne sono i vettori componenti la base B di partenza
Nel tuo caso B e B' coincidono ed A è la matrice associata ad f rispetto alla base canonica. Pertanto è :
$A'=((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0))^{-1} ((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))((1,0,0),(0,1,1),(1,1,0))$
Facendo i dovuti calcoli dovrebbe risultare come segue:
$A'=((2,2,1),(-1,1,1),(2,-2,-2))$
[Fai la verifica...]
Ah sisi questo lo conoscevo,cioè in sintesi hai fatto un cambiamento
di base se non sbaglio.Mi potresti dire gentilmente un altro metodo ?:)
di base se non sbaglio.Mi potresti dire gentilmente un altro metodo ?
:)
Un altro metodo consiste nel trovare, tramite la matrice data, le immagini dei vettori di B e poi nell'esprimere tali immagini come combinazioni lineari dei vettori di B' ( che nel nostro caso coincide con B) : i coefficienti di tali combinazioni costituiscono le colonne della matrice A'.
Per fare un caso concreto calcolo l'immagine di $((1),(0),(1))$:
$f((1),(0),(1))=((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))((1),(0),(1))= ((2),(1),(1)) $
Ora esprimo l'immagine in funzione dei vettori della base B' ( che coincide con B). Con qualche calcolo ho :
$((2),(1),(1)) =2((1),(0),(1))-1((0),(1),(1))+2((0),(1),(0))$
I coefficienti delle combinazione , ovvero 2,-1,2, formano la prima colonna della matrice A'. Come puoi notare essa colonna coincide con la colonna di A' calcolata col primo metodo. Per esercizio puoi calcolare da solo le altre due colonne. Se avrai fatto bene i conti troverai il medesimo risultato che ti ho già indicato col metodo della formula diretta.
P.S. Non mi chiedere altri metodi perché ho esaurito la...scorta !
Per fare un caso concreto calcolo l'immagine di $((1),(0),(1))$:
$f((1),(0),(1))=((1,1,1),(1,-1,0),(0,2,1))((1),(0),(1))= ((2),(1),(1)) $
Ora esprimo l'immagine in funzione dei vettori della base B' ( che coincide con B). Con qualche calcolo ho :
$((2),(1),(1)) =2((1),(0),(1))-1((0),(1),(1))+2((0),(1),(0))$
I coefficienti delle combinazione , ovvero 2,-1,2, formano la prima colonna della matrice A'. Come puoi notare essa colonna coincide con la colonna di A' calcolata col primo metodo. Per esercizio puoi calcolare da solo le altre due colonne. Se avrai fatto bene i conti troverai il medesimo risultato che ti ho già indicato col metodo della formula diretta.
P.S. Non mi chiedere altri metodi perché ho esaurito la...scorta !
Grazie mille,mi hai davvero salvato
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