$f \in End(V) => Sp(f) $ non vuoto.

[Kashaman]

Salve a tutti, su i miei appunti leggo la seguente osservazione :
Sia $V$ uno spazio vettoriale su $\mathbb{K}$ e sia $f$ un endomorfismo di $V$ allora l'insieme degli autovalori di $f$, denotato con $Sp(f)$ ,è non vuoto.
Tale affermazione non mi sembra vera in generale. Infatti se $f$ non è un automorfismo, preso $v \in Kerf , v!=0_v$ ho che $f(v)=0_V=0_{\mathbb{K}} v$ e quindi almeno $0_{\mathbb{K}} \in Sp(f)$.
E quindi la tesi vale. Ma se $f$ è un automorfismo è facile trovare un controesempio a tale osservazione.
Basta ad esempio prendere l'automorfismo $f$ associato rispetto alle basi canoniche alla matrice $A=((0,1),(-1,0)) $ a coefficienti reali.
Studiando il polinomio caratteristico di $A$ mi trovo a studiare l'equazione $x^2+1=0$ , la quale non ammette soluzione su $RR$ e quindi $f$ non ammette autovalori reali e dunque, in questo caso $Sp(f)$ è vuoto.

Cosa ne pensate? Grazie mille.

[6KIRA6]

Ciò che hai detto è giusto. Prova a vedere se nell'ipotesi sul campo ci sia quella che è chiuso algebricamente.

[Kashaman]

Grazie, risolto allora! No, appunto, quell'ipotesi non vi era ecco il perché del mio dubbio.