Tensore covariante e controvariante
Ciao a tutti,
la domanda è molto veloce, giusto per vedere se ho capito bene.
Sia $ninNN$, sia $rinNN$, $r>=2$, $V_i^n$ $i=1,2..r$ spazi vettoriali reali di dimensione $n$,$V_i^(**)$ e $V_i^(****)$ i duali e i biduali di ciascuno di essi, allora:
1) $X$ è un tensore $r-covariante$ se $X\in V_1^**otimes V_2^**otimes...otimes V_r^** $.
2) $X$ è un tensore $r-controvariante$ se $X\in [V_1^(****)otimes V_2^(****)otimes...otimes V_r^(****) =V_1^n otimes V_2^n otimes...otimes V_r^n]$.
Se $X$ è un tensore $r-covariante$ $X$ è equivalente a una $r-text{forma}$ su $V_1^n times V_2^n times ... times V_r^n$.
Se $X$ è un tensore $r-controvariante$ $X$ è equivalente a una $r-text{forma}$ su su $V_1^** times V_2^** times ... times V_r^**$.
E' tutto corretto?
Grazie in anticipo
la domanda è molto veloce, giusto per vedere se ho capito bene.
Sia $ninNN$, sia $rinNN$, $r>=2$, $V_i^n$ $i=1,2..r$ spazi vettoriali reali di dimensione $n$,$V_i^(**)$ e $V_i^(****)$ i duali e i biduali di ciascuno di essi, allora:
1) $X$ è un tensore $r-covariante$ se $X\in V_1^**otimes V_2^**otimes...otimes V_r^** $.
2) $X$ è un tensore $r-controvariante$ se $X\in [V_1^(****)otimes V_2^(****)otimes...otimes V_r^(****) =V_1^n otimes V_2^n otimes...otimes V_r^n]$.
Se $X$ è un tensore $r-covariante$ $X$ è equivalente a una $r-text{forma}$ su $V_1^n times V_2^n times ... times V_r^n$.
Se $X$ è un tensore $r-controvariante$ $X$ è equivalente a una $r-text{forma}$ su su $V_1^** times V_2^** times ... times V_r^**$.
E' tutto corretto?
Grazie in anticipo
Risposte
Up.
Sì, corretto.
Ottimo, grazie di cuore ciampax!
Ti invito comunque a provare a dimostrare il risultato da te citato.
Sara' piu' o meno la sesta definizione di tensore che incontro ... 
Che i tensori abbiano il record di definizioni equivalenti (spero) ?
Che i tensori abbiano il record di definizioni equivalenti (spero) ?
"anonymous_af8479":
Sara' piu' o meno la sesta definizione di tensore che incontro ...
Che i tensori abbiano il record di definizioni equivalenti (spero) ?
Qualcosa del genere: comunque la definizione come applicazioni multilineari credo sia quella più "user-friendly".
Grazie a tutti per le risposte.
@vict85 io considero la 1) e la 2) come definizioni, allora i risultati che seguono sono immediati.
@anonymous_af8479 e @ciampax
C'è chi ne conosce $6)$ e chi solo una
No, in realtà avevamo chiamato in fisica 2 "tensore elettromagnetico" una comune matrice $4x4$.
Piuttosto, mi interessa la seguente questione:
Su un libro di fisica viene definito un prodotto tensoriale tra vettori e mi piacerebbe sapere se si può sposare con le definizioni da me scritte.
In sostanza è una cosa del tipo:
Siano $n,m in NN $, $vec v in V^n$ e $vec w in W^m$ con $V^n$ e $W^m$ spazi vettoriali complessi, allora $vec v otimes vec w in V^n otimes W^m, $ $dim(V^n otimes W^m)=n*m.$ Viene inoltre trattato $vec v otimes vec w$ come un vettore vero e proprio!!!!
Per semplicità pongo $n=m$, allora secondo la definizione $2)$ un oggetto che appartiene a $V^n otimes W^m$ dovrebbe essere un tensore $r-controvariante$ e, per l'osservazione fatta, $vec v otimes vec w$ dovrebbe concidere con una $2-text{forma}$ su $V^** times W^**$, ovvero una cosa del tipo: $vec v otimes vec w: V^** times W^**->CC$. Mica un vettore!
Dove è che mi confondo?
@vict85 io considero la 1) e la 2) come definizioni, allora i risultati che seguono sono immediati.
@anonymous_af8479 e @ciampax
C'è chi ne conosce $6)$ e chi solo una
No, in realtà avevamo chiamato in fisica 2 "tensore elettromagnetico" una comune matrice $4x4$.
Piuttosto, mi interessa la seguente questione:
Su un libro di fisica viene definito un prodotto tensoriale tra vettori e mi piacerebbe sapere se si può sposare con le definizioni da me scritte.
In sostanza è una cosa del tipo:
Siano $n,m in NN $, $vec v in V^n$ e $vec w in W^m$ con $V^n$ e $W^m$ spazi vettoriali complessi, allora $vec v otimes vec w in V^n otimes W^m, $ $dim(V^n otimes W^m)=n*m.$ Viene inoltre trattato $vec v otimes vec w$ come un vettore vero e proprio!!!!
Per semplicità pongo $n=m$, allora secondo la definizione $2)$ un oggetto che appartiene a $V^n otimes W^m$ dovrebbe essere un tensore $r-controvariante$ e, per l'osservazione fatta, $vec v otimes vec w$ dovrebbe concidere con una $2-text{forma}$ su $V^** times W^**$, ovvero una cosa del tipo: $vec v otimes vec w: V^** times W^**->CC$. Mica un vettore!
Dove è che mi confondo?
Come pensavo non è che ci sia della gran coerenza, giusto?
Tutti hanno una confusione del genere; in effetti nel corso degli anni ho dimenticato il motivo per cui questa confusione emerge. Il fatto è che il prodotto tensoriale di vettori (ovvero di una matrice 1xn e di una mx1, fatto colonne per righe invece che righe per colonne) è piuttosto diverso dal prodotto tensoriale degli spazi dove quei vettori vivono.
Al netto di un sacco di identificazioni, che comunque sono tutte canoniche, il prodotto tensoriale di due vettori è un vettore in $V^*\otimes W = \hom(V,W)$, ovvero una applicazione lineare. Con questo e un pizzico di follia, tutto torna.
Al netto di un sacco di identificazioni, che comunque sono tutte canoniche, il prodotto tensoriale di due vettori è un vettore in $V^*\otimes W = \hom(V,W)$, ovvero una applicazione lineare. Con questo e un pizzico di follia, tutto torna.
Grazie mille killing_buddha,
vedrò di approfondire
vedrò di approfondire
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