Somme dirette e proiezioni
Salve a tutti, sto cercando in tutti i modi di capire un passaggio teorico riguardo a questo argomento. Si tratta di tale proposizione:
V è uno spazio vettoriale e W,Z sono sottospazi di V tali che W+Z = V e W $ nn $ Z = {0} , allora si dice che V e decomposto nella somma diretta di W e Z e scriveremo V = W $ o+ $ Z.
- ponendo p(v)= w e q(v)= z, si definiscono due applicazioni p,q : V $ rarr $ V, dette proiezioni relative alla decomposizione in somma diretta V= W $ o+ $ Z . Vale la seguente proposizione:
1- p e q sono lineari;
2- Im(p)=Ker(q)=W, Im(q)=Ker(p)=Z;
3- p $ @ $ q = q $ @ $ p = 0
4- p $ @ $ p = p, q $ @ $ q= q
5- p + q = Id V
Grazie in anticipo per le risposte, ho cercato di aiutarmi disegnando persino un grafico che "riproducesse" quanto scritto, ma ci sono delle sottigliezze che non riesco proprio a spiegarmi e sarei felicissima se qualcuno sappia indicarmi (sempre se esiste) un indirizzo in cui si spiegano queste cose graficamente (perchè le capisco meglio!)
V è uno spazio vettoriale e W,Z sono sottospazi di V tali che W+Z = V e W $ nn $ Z = {0} , allora si dice che V e decomposto nella somma diretta di W e Z e scriveremo V = W $ o+ $ Z.
- ponendo p(v)= w e q(v)= z, si definiscono due applicazioni p,q : V $ rarr $ V, dette proiezioni relative alla decomposizione in somma diretta V= W $ o+ $ Z . Vale la seguente proposizione:
1- p e q sono lineari;
2- Im(p)=Ker(q)=W, Im(q)=Ker(p)=Z;
3- p $ @ $ q = q $ @ $ p = 0
4- p $ @ $ p = p, q $ @ $ q= q
5- p + q = Id V
Grazie in anticipo per le risposte, ho cercato di aiutarmi disegnando persino un grafico che "riproducesse" quanto scritto, ma ci sono delle sottigliezze che non riesco proprio a spiegarmi e sarei felicissima se qualcuno sappia indicarmi (sempre se esiste) un indirizzo in cui si spiegano queste cose graficamente (perchè le capisco meglio!)
Risposte
Dal momento che $V$ è somma diretta di $W$ e $Z$, $\forall v\in V\quad \exists !\quad w\in W, z\in Z $ tali che $v=w+z$. E' naturale dunque definire le proiezioni $p_{W}:V\rightarrow W,p_{Z}:V\rightarrow Z$ tali che $p_{W}(v)=w$,$p_{Z}(v)=z$.
1) Sono lineari.
Siano $v_1,v_2\in V$ e $k_1,k_2\in \mathbb{k}$, con $v_1=w_1+z_1,v_2=w_1+z_2$. Allora abbiamo:
$p_{W}(k_1v_1+k_2v_2)=p_{W}((k_1w_1+k_2w_2)+(k_1z_1+k_2z_2))=k_1w_1+k_2w_2=k_1p_{W}(v_1)+k_2p_{W}(v_2)$
e lo stesso vale per l'altra proiezione.
2)$Im(p_{W})=Ker(p_{Z})=W,Im (p_{Z})=Ker(p_{W})=Z$
$p_W$ è surgettiva, infatti $\forall w\in W\quad\exists v\in V | p_W(v)=z$, basta dunque sceglere $v=z$. Dunque la sua immagine è tutto $W$. Detto ciò, dalla formula delle dimensini abbiamo: $Dim(V)=DimIm(p_W)+DimKer(p_W)=Dim(W)+DimKer(p_W)$, da cui $DimKer(p_W)=Dim(V)-Dim(W)=Dim(Z)$. Inoltre sappiamo che $Z\subseteq Ker(p_W)$, come si vede facilmente. Dunque si può concludere che $Z=Ker(p_W)$. Gli stessi ragionamenti valgono pure per l'altra proiezione, e quindi si perviene facilmente alle uguaglianze.
3)
Proprio per le relazione del punto precedente si deduce che la loro composizione è la funzione nulla, infatti l'immagine dell'una è il nucleo dell'altra.
4)
Osserva che $p_W|_{W}=Id_{W}$, cioè la restrizione di una proiezione al sottospazio su cui proietta non può che essere l'identità, dunque $p_{W}\circ p_W=p_W|_{W}\circ p_W=Id_W\circp_W=p_W$. Lo stesso per l'altra.
5)
Dalle definizioni: $(p_W+p_Z)(v)=p_W(v)+p_Z(v)=w+z=v=Id(v)$ comunque scelta $v\in V$. Dunque la tesi.
1) Sono lineari.
Siano $v_1,v_2\in V$ e $k_1,k_2\in \mathbb{k}$, con $v_1=w_1+z_1,v_2=w_1+z_2$. Allora abbiamo:
$p_{W}(k_1v_1+k_2v_2)=p_{W}((k_1w_1+k_2w_2)+(k_1z_1+k_2z_2))=k_1w_1+k_2w_2=k_1p_{W}(v_1)+k_2p_{W}(v_2)$
e lo stesso vale per l'altra proiezione.
2)$Im(p_{W})=Ker(p_{Z})=W,Im (p_{Z})=Ker(p_{W})=Z$
$p_W$ è surgettiva, infatti $\forall w\in W\quad\exists v\in V | p_W(v)=z$, basta dunque sceglere $v=z$. Dunque la sua immagine è tutto $W$. Detto ciò, dalla formula delle dimensini abbiamo: $Dim(V)=DimIm(p_W)+DimKer(p_W)=Dim(W)+DimKer(p_W)$, da cui $DimKer(p_W)=Dim(V)-Dim(W)=Dim(Z)$. Inoltre sappiamo che $Z\subseteq Ker(p_W)$, come si vede facilmente. Dunque si può concludere che $Z=Ker(p_W)$. Gli stessi ragionamenti valgono pure per l'altra proiezione, e quindi si perviene facilmente alle uguaglianze.
3)
Proprio per le relazione del punto precedente si deduce che la loro composizione è la funzione nulla, infatti l'immagine dell'una è il nucleo dell'altra.
4)
Osserva che $p_W|_{W}=Id_{W}$, cioè la restrizione di una proiezione al sottospazio su cui proietta non può che essere l'identità, dunque $p_{W}\circ p_W=p_W|_{W}\circ p_W=Id_W\circp_W=p_W$. Lo stesso per l'altra.
5)
Dalle definizioni: $(p_W+p_Z)(v)=p_W(v)+p_Z(v)=w+z=v=Id(v)$ comunque scelta $v\in V$. Dunque la tesi.
Ti ringrazio molto per la risposta! Diciamo che ieri comunque sono rimasta un bel po' su questa parte, e alla fine ho raggiunto delle conclusioni. Io provo a spiegarti cosa ho interpretato in maniera brutale, cercando di essere chiara il più possibile. Allora la difficoltà c'era maggiormente sul secondo punto, che io ho capito così :
Dalla definizione, si ha che l' Im(p) $ sub $ W, quindi io potendo prendere un qualsiasi v, decido di scegliere w. Dato che il v che scelgo deve essere per forza scritto come v= w+z, ho che w=w+0, quindi z=0; quindi ho che che p(w)=w, cioè penso che l'intera Im(p)= W (questo ultima riga mi è intuitiva ma formalmente, in maniera precisa, non ci arrivo). Poi, se ho che p(v)=0, significa che l'immagine di v è 0, quindi ciò implica che v $ in $ Ker(p), e ricordando che il v=w+z, in questo caso ho che w=0 (perché p(v) $ sub $ W, e per ipotesi ho posto che fosse 0), quindi v=z, che a sua volta appartiene a Z. Quindi ciò vale per ogni elemento che appartiene solo a Z, quindi il Ker(p)=Z (e anche questa riga mi viene intuitiva ma non sono sicura dell'attendibilità del ragionamento). E tali ragionamenti li ho fatti uguali per l'Im(q) e il Ker(q).
Ora io volevo sapere solo se il ragionamento fatto è stupido o anche per voi ha un senso logico, e volevo che mi venisse chiarito se ogni volta che devo dimostrare la linearità, diciamo in generale per qualsiasi applicazione, bisogna verificare le solite dimostrazioni di somma, moltiplicazione ed esistenza dello 0 e se sì, come si procede in ogni caso. Grazie per la disponibilità
Dalla definizione, si ha che l' Im(p) $ sub $ W, quindi io potendo prendere un qualsiasi v, decido di scegliere w. Dato che il v che scelgo deve essere per forza scritto come v= w+z, ho che w=w+0, quindi z=0; quindi ho che che p(w)=w, cioè penso che l'intera Im(p)= W (questo ultima riga mi è intuitiva ma formalmente, in maniera precisa, non ci arrivo). Poi, se ho che p(v)=0, significa che l'immagine di v è 0, quindi ciò implica che v $ in $ Ker(p), e ricordando che il v=w+z, in questo caso ho che w=0 (perché p(v) $ sub $ W, e per ipotesi ho posto che fosse 0), quindi v=z, che a sua volta appartiene a Z. Quindi ciò vale per ogni elemento che appartiene solo a Z, quindi il Ker(p)=Z (e anche questa riga mi viene intuitiva ma non sono sicura dell'attendibilità del ragionamento). E tali ragionamenti li ho fatti uguali per l'Im(q) e il Ker(q).
Ora io volevo sapere solo se il ragionamento fatto è stupido o anche per voi ha un senso logico, e volevo che mi venisse chiarito se ogni volta che devo dimostrare la linearità, diciamo in generale per qualsiasi applicazione, bisogna verificare le solite dimostrazioni di somma, moltiplicazione ed esistenza dello 0 e se sì, come si procede in ogni caso. Grazie per la disponibilità
"Lilla93":
Poi, se ho che p(v)=0, significa che l'immagine di v è 0, quindi ciò implica che v $ in $ Ker(p), e ricordando che il v=w+z, in questo caso ho che w=0 (perché p(v) $ sub $ W, e per ipotesi ho posto che fosse 0), quindi v=z, che a sua volta appartiene a Z. Quindi ciò vale per ogni elemento che appartiene solo a Z, quindi il Ker(p)=Z (e anche questa riga mi viene intuitiva ma non sono sicura dell'attendibilità del ragionamento). E tali ragionamenti li ho fatti uguali per l'Im(q) e il Ker(q).
Qui in pratica hai fatto vedere che preso un vettore appartenente al nucleo della proiezione, questo appartiene a $Z$. Questo dimostra solo che $Ker(p_W)\subseteq Z$ e non l'uguaglianza. Per far vedere l'uguaglianza devi dimostrare pure l'altra inclusione, oppure far vedere che i due sottospazi hanno la stessa dimensione ( come ho fatto vedere io ).
Questa è una procedura generale ed è pure un errore comune che molti studenti fanno all'inizio. In generale, per far vedere che due sottospazi sono uguali vanno fatte vedere entrambe le inclusioni, però se ne fai vedere una e dimostri che hanno stessa dimensione allora hai concluso. La dimostrazine di questo fatto è semplice e la trovi su qualunque libro di testo. Dunque, se non ti è ancora chiaro ti consiglio di dare un'occhiata al tuo libro di testo, e se trovi ancora difficoltà posso descriverti per bene la cosa.
"Lilla93":
volevo che mi venisse chiarito se ogni volta che devo dimostrare la linearità, diciamo in generale per qualsiasi applicazione, bisogna verificare le solite dimostrazioni di somma, moltiplicazione ed esistenza dello 0 e se sì, come si procede in ogni caso.
Si, ogni volta devi far vedere le cose che hai elencato. Formalmente la questione è posta in questi termini:
Siano $V,W$ due spazi vettoriali su un campo $\mathbb{K}$, e sia $f:V\rightarrow W$ un'applicazione. Questa è detta lineare se:
1) $f(0_V)=0_W$
2)$\forall v\in V,k\in\mathbb{K}$ si ha $f(kv)=kf(v)$
3)$\forall v_1,v_2\in V$ si ha $f(v_1+v_2)=f(v_1)+f(v_2)$
Quindi ogni volta non devi far altro che verificare questi 3 punti.
Grazie mille davvero! Dunque, io certo che ho consultato il libro di testo, mi dice semplicemente: "p(w)=w. Ne segue che Im(p)=W". Ma non mi spiega il motivo, non mi parla di dimensione, sicuramente lo dà per scontato, e io non avendo seguito alcuna lezione di algebra, diciamo che non riesco ancora a manipolare tutti gli assiomi, e quindi, come dire, non ce li ho "pronti per l'uso" ad ogni dimostrazione. 
Quindi non mi è chiaro proprio che Im(p)=W e non capisco nella terminologia che hai usato tu pW(v)=w cosa vuol dire il w subito dopo la p. Ancora grazie per la disponibilità 
Quindi non mi è chiaro proprio che Im(p)=W e non capisco nella terminologia che hai usato tu pW(v)=w cosa vuol dire il w subito dopo la p. Ancora grazie per la disponibilità
Cioè è vero che dato che p(v) é surgettiva questo implica che l'Im(p) è tutto l'insieme W, perché ad ogni elemento di W deve corrispondere almeno uno di Z, ma mi chiedo da cosa deduco che l'applicazione e surgettiva?? Sul libro non me lo specifica proprio che l'applicazione è surgettiva... 
"Lilla93":
non capisco nella terminologia che hai usato tu pW(v)=w cosa vuol dire il w subito dopo la p
Quelle lettere in pedice designano che la proiezione è fatta su $W$ o su $Z$ ( tu le ha indicate con le lettere $p$ e $q$ ).
"Lilla93":
non mi è chiaro proprio che Im(p)=W
Ricordo che $p_W:V\rightarrow W$
Allora, dobbiamo far vedere che $Im(p_W)=W$, ovvero che $p_W$ è surgettiva.
Questo te l'ho già fatto vedere
"6KIRA6":
$ p_W $ è surgettiva, infatti $ \forall w\in W\quad\exists v\in V | p_W(v)=z $, basta dunque sceglere $ v=z $. Dunque la sua immagine è tutto $ W $
"Lilla93":
Cioè è vero che dato che p(v) é surgettiva questo implica che l'Im(p) è tutto l'insieme W
Ma questa è proprio la definizione di surgettività.
Penso di aver capito...davvero mille grazie!!
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