Dimostrare la compattezza...
L'esercizio davanti al quale mi sono arreso e che propongo a voi in cerca di aiuto è il seguente:
Sia [tex]K \subset \mathbb{R}[/tex] l'insieme formato dallo zero e dai numeri della forma [tex]1/n[/tex] con [tex]n=1,2,3,\dots[/tex] Si dimostri che [tex]K[/tex] è compatto, servendosi direttamente della definizione (senza usare il teorema di Heine-Borel).
Usando il teorema di Heine-Borel (che dice che gli insiemi chiusi e limitati in [tex]\mathbb{R}^{k}[/tex] sono compatti) l'esercizio lo riesco a fare anch'io, ma in un altro modo come si fa? Come si fa a costruire un ricoprimento aperto di [tex]K[/tex] ?
Grazie.
Sia [tex]K \subset \mathbb{R}[/tex] l'insieme formato dallo zero e dai numeri della forma [tex]1/n[/tex] con [tex]n=1,2,3,\dots[/tex] Si dimostri che [tex]K[/tex] è compatto, servendosi direttamente della definizione (senza usare il teorema di Heine-Borel).
Usando il teorema di Heine-Borel (che dice che gli insiemi chiusi e limitati in [tex]\mathbb{R}^{k}[/tex] sono compatti) l'esercizio lo riesco a fare anch'io, ma in un altro modo come si fa? Come si fa a costruire un ricoprimento aperto di [tex]K[/tex] ?
Grazie.
Risposte
Prova ancora, che forse ti mangerai le mani. Prendi un ricoprimento \(\{O_{\alpha}\}\) e un \(O_{\alpha}\) appartenente al ricoprimento:[size=50] \(x_{n}\) vi appartiene da un certo \(n\) in poi e siccome i punti che non vi appartengono sono finiti, essi appartengono ad un numero finito di aperti del ricoprimenti.[/size]
"merdino":Perché? Sei sicuro? [ot]Il tuo nickname è border line.[/ot]
...un \(O_{\alpha}\) appartenente al ricoprimento: \(x_{n}\) vi appartiene da un certo \(n\) in poi e siccome i punti che non vi appartengono sono finiti, essi appartengono ad un numero finito di aperti del ricoprimenti.
Sono sicuro che riesci a risponderti da solo.
Sono sicuro che per come l'hai scritto il tuo ragionamento è sbagliato!
Ma perché non la smetti di spammare? Il ragionamento è chiaro.
@merdino [ot]Sei un utente da record: dopo più di 4100 messaggi è la prima volta che vengo accusato di spamming!
Io ti ho domandato "perché" senza ricevere alcuna risposta, se non invocando: la mia sicurezza (che hai sbagliato); l'accusa di spamming (perché poi?); e la tua chiarezza (che non vedo).[/ot]
@Edmond Dantès Passando al futuro Comte de Montecristo, io ragionerei con le intersezioni di chiusi: sai di cosa parlo?
Io ti ho domandato "perché" senza ricevere alcuna risposta, se non invocando: la mia sicurezza (che hai sbagliato); l'accusa di spamming (perché poi?); e la tua chiarezza (che non vedo).[/ot]
@Edmond Dantès Passando al futuro Comte de Montecristo, io ragionerei con le intersezioni di chiusi: sai di cosa parlo?
@ merdino:
No, non lo è.
Quindi sarebbe meglio ti spiegassi meglio e chiedessi scusa a j18eos.
"merdino":
Il ragionamento è chiaro.
No, non lo è.
Quindi sarebbe meglio ti spiegassi meglio e chiedessi scusa a j18eos.
Dovrei ricordare anche la definizione di convergenza e spiegare che deve scegliere \(O_{\alpha}\) che contiene lo zero? Il regolamento non richiede di scrivere una risposta completa. Se dice che è sbagliato deve anche dirmi perché, altrimenti non devo spiegazioni a nessuno.
Ma perché l'esercizio richiede di studiare\dimostrare la convergenza di una qualche successione? Mutatis mutandis la compattezza per successioni et simila? 
"merdino":
Dovrei ricordare anche la definizione di convergenza e spiegare che deve scegliere \(O_{\alpha}\) che contiene lo zero?
Grazie per le risposte. Effettivamente adesso penso di esserci arrivato:
se io prendo come ricoprimento aperto di \(\displaystyle K \) l'unione degli insiemi aperti del tipo \(\displaystyle O_{m} = (0, 1/m) \) a cui aggiungo ad esempio l'insieme aperto \(\displaystyle (-1, 2) \) in modo da contenere \(\displaystyle K \), allora, poiché, per definizione di convergenza, [tex]\forall \varepsilon > 0,\ \exists n_{0} \in \mathbb{N} \vert 1/n < \varepsilon \ \ \forall n \geq n_{0}[/tex], si trova in questo modo un sottoricoprimento finito di \(\displaystyle K \) composto dall'unione degli \(\displaystyle O_{m}: 1\leq m \leq n_{0} \) e da \(\displaystyle (-1,2) \).
Era questa la soluzione che avevi pensato anche te? E' corretta?
"j18eos":
@Edmond Dantès io ragionerei con le intersezioni di chiusi: sai di cosa parlo?
@j18eos: so che l'intersezione di una collezione di insiemi chiusi è ancora un insieme chiuso, ma sinceramente non capisco qual è il tuo suggerimento...
Ma in quel modo non dimostri che da ogni ricoprimento aperto puoi estrarne uno finito...
Ti ricordo la definizione duale di spazio compatto:
Ti ricordo la definizione duale di spazio compatto:
Sia \(S;\mathcal{T}\) uno spazio topologico, esso è compatto se e solo se per ogni famiglia \(\{C_i\}_{i\in I}\) di insiemi chiusi tali che:
\[
\bigcap_{i\in I}C_i=\emptyset
\]
si ha che esiste una sottofamiglia finita \(\{C_k\}_{k\in\{1;...;n\}}\) tale che:
\[
\bigcap_{k=1}^nC_k=\emptyset.
\]
@ merdino:
[ot]
Certo che non c'è obbligo di risposta... Ma quando si dice o si suggerisce qualcosa c'è anche l'obbligo pedagogico (o, se vuoi, morale) di dirla o suggerirla correttamente.
Il ragionamento che proponi, così com'è scritto, non è valido.
Infatti, non si vede proprio perché il generico elemento \(O_\alpha\) del ricoprimento debba contenere infiniti elementi della successione. Ad esempio, il ricoprimento formato dagli aperti \(O_1=]-1,\pi/4[\) ed \(O_2=]\pi/5,2[\), per il quale non è affatto vero che il generico elemento del ricoprimento contiene infiniti punti della successione.
Puoi anche non dirlo esplicitamente.
Ma dovresti far intuire che entrambe le cose che citi sono importanti per la soluzione.
[/ot]
[ot]
"merdino":
Il regolamento non richiede di scrivere una risposta completa. Se dice che è sbagliato deve anche dirmi perché, altrimenti non devo spiegazioni a nessuno.
Certo che non c'è obbligo di risposta... Ma quando si dice o si suggerisce qualcosa c'è anche l'obbligo pedagogico (o, se vuoi, morale) di dirla o suggerirla correttamente.
Il ragionamento che proponi, così com'è scritto, non è valido.
Infatti, non si vede proprio perché il generico elemento \(O_\alpha\) del ricoprimento debba contenere infiniti elementi della successione. Ad esempio, il ricoprimento formato dagli aperti \(O_1=]-1,\pi/4[\) ed \(O_2=]\pi/5,2[\), per il quale non è affatto vero che il generico elemento del ricoprimento contiene infiniti punti della successione.
"merdino":
Dovrei ricordare anche la definizione di convergenza e spiegare che deve scegliere \(O_{\alpha}\) che contiene lo zero?
Puoi anche non dirlo esplicitamente.
Ma dovresti far intuire che entrambe le cose che citi sono importanti per la soluzione.
[/ot]
@ conte di Montecristo: Renditi conto che stai scambiando i quantificatori.
La definizione di compattezza (che credo avrai visto):
ti chiede di lavorare col generico ricoprimento dell'insieme "bersaglio" \(X\), e non con un suo ricoprimento particolare fissato da te.
Quindi, se vuoi usare la definizione per controllare la compattezza di \(X=\{1/n\}_{n\in \mathbb{N}}\cup \{0\}\), devi prendere un generico ricoprimento \(\{O_\alpha\}_{\alpha \in A}\) di \(X\) e mostrare che puoi scegliere tra gli aperti che lo compongono un numero finito di essi con i quali riesci ancora a ricoprire \(X\).
La definizione di compattezza (che credo avrai visto):
Una parte \(X\) di uno spazio topologico \((S,\mathcal{T})\) è compatta se e solo se da ogni ricoprimento aperto di \(X\) si può estrarre un ricoprimento finito; in altre parole, se e solo se:
\[
\forall \{O_\alpha\}_{\alpha \in A}\subseteq \mathcal{T},\quad X\subseteq \bigcup_{\alpha \in A} O_\alpha\ \Rightarrow\ \exists N\in \mathbb{N} \text{ e } \exists \alpha_1,\alpha_2,\ldots, \alpha_N\in A:\ X\subseteq \bigcup_{n=1}^N O_{\alpha_n}\; .
\]
ti chiede di lavorare col generico ricoprimento dell'insieme "bersaglio" \(X\), e non con un suo ricoprimento particolare fissato da te.
Quindi, se vuoi usare la definizione per controllare la compattezza di \(X=\{1/n\}_{n\in \mathbb{N}}\cup \{0\}\), devi prendere un generico ricoprimento \(\{O_\alpha\}_{\alpha \in A}\) di \(X\) e mostrare che puoi scegliere tra gli aperti che lo compongono un numero finito di essi con i quali riesci ancora a ricoprire \(X\).
@gugo82 : Grazie. Sì, è vero, stavo sbagliando a prendere solo un particolare ricoprimento aperto dell'insieme e non uno generale... poi da lì, grazie al suggerimento di @merdino, il ragionamento per estrarre un sottoricoprimento finito l'avevo capito.
Bene, per quanto mi riguarda può dirsi conclusa la discussione.
Ciao e grazie a tutti
Bene, per quanto mi riguarda può dirsi conclusa la discussione.
Ciao e grazie a tutti
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