Distanza tra due rette nello spazio.
salve,
non riesco a risolvere questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini la distanza della retta r dalla retta s, essendo:
r : $\{(x+y=1),(x+z=0):}$
s : $\{(x+y=2),(y-z=0):}$
grazie in anticipo
non riesco a risolvere questo esercizio:
Fissato nello spazio un riferimento metrico, si determini la distanza della retta r dalla retta s, essendo:
r : $\{(x+y=1),(x+z=0):}$
s : $\{(x+y=2),(y-z=0):}$
grazie in anticipo
Risposte
Sono rette parallele che passano per due punti diversi
$r:<((1),(-1),(-1))> + ((0),(1),(0))$
$s:<((1),(-1),(-1))> + ((2),(0),(0))$
Prendi il vettore che collega i due punti:
$v:((2),(-1),(0))$
E sottrai la sua componente parallela alle rette:
$v - (v*w/|w|^2)w=((2),(-1),(0)) - (((2),(-1),(0))*((1),(-1),(-1)))/3 ((1),(-1),(-1))= ((2),(-1),(0)) - 3/3 ((1),(-1),(-1))=((1),(0),(1))$
Che ha modulo:
$|((1),(0),(1))|= sqrt(2)$
Altro metodo:
Crei un piano ausiliario per una retta con un vettore ortogonale alla retta e alla distanza tra i punti:
$pi: <((1),(-1),(-1)), ((1),(2),(-1))> + ((0),(1),(0))=> x+z=0$
Calcoliamo la distanza di un punto di r dal piano:
$|ax_r + by_r +cz_r +d|/sqrt(a^2 +b^2 +c^2)=> |2|/sqrt(2)= sqrt(2)$
$r:<((1),(-1),(-1))> + ((0),(1),(0))$
$s:<((1),(-1),(-1))> + ((2),(0),(0))$
Prendi il vettore che collega i due punti:
$v:((2),(-1),(0))$
E sottrai la sua componente parallela alle rette:
$v - (v*w/|w|^2)w=((2),(-1),(0)) - (((2),(-1),(0))*((1),(-1),(-1)))/3 ((1),(-1),(-1))= ((2),(-1),(0)) - 3/3 ((1),(-1),(-1))=((1),(0),(1))$
Che ha modulo:
$|((1),(0),(1))|= sqrt(2)$
Altro metodo:
Crei un piano ausiliario per una retta con un vettore ortogonale alla retta e alla distanza tra i punti:
$pi: <((1),(-1),(-1)), ((1),(2),(-1))> + ((0),(1),(0))=> x+z=0$
Calcoliamo la distanza di un punto di r dal piano:
$|ax_r + by_r +cz_r +d|/sqrt(a^2 +b^2 +c^2)=> |2|/sqrt(2)= sqrt(2)$
"Maci86":
Sono rette parallele che passano per due punti diversi
$r:<((1),(-1),(-1))> + ((0),(1),(0))$
$s:<((1),(-1),(-1))> + ((2),(0),(0))$
Prendi il vettore che collega i due punti:
$v:((2),(-1),(0))$
E sottrai la sua componente parallela alle rette:
$v - (v*w/|w|^2)w=((2),(-1),(0)) - (((2),(-1),(0))*((1),(-1),(-1)))/3 ((1),(-1),(-1))= ((2),(-1),(0)) - 3/3 ((1),(-1),(-1))=((1),(0),(1))$
Che ha modulo:
$|((1),(0),(1))|= sqrt(2)$
Altro metodo:
Crei un piano ausiliario per una retta con un vettore ortogonale alla retta e alla distanza tra i punti:
$pi: <((1),(-1),(-1)), ((1),(2),(-1))> + ((0),(1),(0))=> x+z=0$
Calcoliamo la distanza di un punto di r dal piano:
$|ax_r + by_r +cz_r +d|/sqrt(a^2 +b^2 +c^2)=> |2|/sqrt(2)= sqrt(2)$
grazie mille
Avendo i due punti e sapendo che le rette sono parallele, quindi la distanza è costante, posso usare questa formula??
dist^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2
dist^2=(x2-x1)^2+(y2-y1)^2+(z2-z1)^2
scusate posto anche la mia soluzione, che è leggermente diversa da quella fatta dall'utente Maci86
riscriviamo le rette in forma parametrica
$ r:((x),(y),(z))=((0),(1),(0))+t((1),(-1),(-1)) $ e $ s:((x),(y),(z))=((2),(0),(0))+k((1),(-1),(-1)) $
osservando i vettori direttori, le 2 rette sono parallele, ma posso essere concidenti, dunque per verificare se sono parallele e distinte prendiamo un punto $p=((0),(1),(0))\in r$ e verifichiamo se appartiene anche alla retta $s$
$ { ( 0=2+k ),( 1=-k ),( 0=-k ):} $
ok, osserviamo che il punto da noi preso $p$ non appartiene alla retta s, dunque le rette sono parallele e distinte.
Per calcolare la distanza $d(r,s)$ calcoliamo la distanza tra i punti di interesezione $Q_1,Q_2$ di $r, s$ con un qualsiasi piano ortogonale alle 2 rette
un piano ortogonale alle 2 rette è ad esempio $\pi :$ $x-y-z=0$
$ Q_1=r\cap \pi={ ( x+y=1 ),( x+z=0 ),( x-y-z=0 ):}\to ...\to Q_1=((1/3),(2/3),(-1/3)) $
$ Q_2=s\cap \pi={ ( x+y=2 ),( y-z=0 ),( x-y-z=0 ):}\to... \to Q_2=((4/3),(2/3),(2/3)) $
Ok ora la distanza punto-punto
$ d(Q_1,Q_2)=|| Q_1-Q_2||=sqrt{2} $
riscriviamo le rette in forma parametrica
$ r:((x),(y),(z))=((0),(1),(0))+t((1),(-1),(-1)) $ e $ s:((x),(y),(z))=((2),(0),(0))+k((1),(-1),(-1)) $
osservando i vettori direttori, le 2 rette sono parallele, ma posso essere concidenti, dunque per verificare se sono parallele e distinte prendiamo un punto $p=((0),(1),(0))\in r$ e verifichiamo se appartiene anche alla retta $s$
$ { ( 0=2+k ),( 1=-k ),( 0=-k ):} $
ok, osserviamo che il punto da noi preso $p$ non appartiene alla retta s, dunque le rette sono parallele e distinte.
Per calcolare la distanza $d(r,s)$ calcoliamo la distanza tra i punti di interesezione $Q_1,Q_2$ di $r, s$ con un qualsiasi piano ortogonale alle 2 rette
un piano ortogonale alle 2 rette è ad esempio $\pi :$ $x-y-z=0$
$ Q_1=r\cap \pi={ ( x+y=1 ),( x+z=0 ),( x-y-z=0 ):}\to ...\to Q_1=((1/3),(2/3),(-1/3)) $
$ Q_2=s\cap \pi={ ( x+y=2 ),( y-z=0 ),( x-y-z=0 ):}\to... \to Q_2=((4/3),(2/3),(2/3)) $
Ok ora la distanza punto-punto
$ d(Q_1,Q_2)=|| Q_1-Q_2||=sqrt{2} $
Non puoi usarla a meno che tu non sappia quali sono i due punti di minima distanza
Bella anche la tua soluzione alternativa 21zuclo
Bella anche la tua soluzione alternativa 21zuclo
grazie mille anche a te zuclo ... maci puoi chiarirmi come ricavi il vettore di minima distanza?
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