[algebra lineare] matrice

[circe123]

Data la matrice A=
|-5 0 0 0 |
| 3 -1 0 2|
| 2 0 1 0 |
|-1 4 0 -3|
Si scriva la matrice B della funzione lineare f : U -> U definita da f(v) = Av, rispetto alla base
{u1; u2}, con u1=(0; 1; 0;-1) e u2=(0; 3; 0; 1)
Qualcuno può dirmi come procedere? grazie!

[merdino]

Considera una funzione lineare \(f\) da \(\mathbb{R}^{2}\) a \(\mathbb{R}^{2}\). Allora dato il vettore \(x=[x_{1},x_{2}]\)
\begin{split}
f(x)
&=f(x_{1}e_{1}+x_{2}e_{2}) \\
&=x_{1}f(e_{1})+x_{2}f(e_{2}) \\
&=x_{1}(c_{1}^{1}e_{1}+c_{2}^{1}e_{2})+x_{2}(c_{1}^{2}e_{1}+c_{2}^{2}e_{2}) \\
&=x_{1}c_{1}^{1}e_{1}+x_{1}c_{2}^{1}e_{2}+x_{2}c_{1}^{2}e_{1}+x_{2}c_{2}^{2}e_{2} \\
&=(x_{1}c_{1}^{1}+x_{2}c_{1}^{2})e_{1}+(x_{1}c_{2}^{1}+x_{2}c_{2}^{2})e_{2} \\
&=(x_{1}c_{1}^{1}+x_{2}c_{1}^{2})[1,0]+(x_{1}c_{2}^{1}+x_{2}c_{2}^{2})[0,1] \\
&=[x_{1}c_{1}^{1}+x_{2}c_{1}^{2},x_{1}c_{2}^{1}+x_{2}c_{2}^{2}]
\end{split}
I coefficienti \(c_{i}^{j}\) sono gli elementi della matrice associata all'applicazione (vedi che il vettore finale segue la regola della moltiplicazione fra un vettore ed una matrice). Ho usato la linearità ed il fatto che \(f(e_{i})\) è un vettore, quindi esprimibile mediante combinazione lineare con gli elementi della base. Se avessi avuto una base differente da \(e_{1},e_{2}\), avrei trovato una matrice differente.