Disuguaglianza triangolare e vettori paralleli
Mr. Sernesi chiama paralleli due vettori non nulli $u,w$ di uno spazio vettoriale euclideo $V$ tali che $\alpha u+\beta w=0_V$ per opportuni scalari $\alpha,\beta\in\mathbb{R}$ non nulli; ne deduco che $u$ è parallelo a $w$ se e solo se $u\in\langle w\rangle\setminus \{0_V\}$. Inoltre afferma che la disuguaglianza triangolare
\[\|u+w\|\le \|u\|+\|w\|\]
è un'uguaglianza se e solo se $u$ e $w$ sono paralleli. Tuttavia se prendo $w=\alpha u$ trovo
\[\|u+\alpha u\|=|\alpha+1|\|u\|\qquad \|u\|+\|\alpha u\|=(|\alpha|+1)\|u\|\]
C'è qualcosa che non va
Data la loro semplicità, dubito di aver sbagliato i conti (ma non si sa mai... 
). Quello che mi viene da pensare, anche ragionando sul significato concreto di $||\ \cdot\ ||$, è che quello che Sernesi dice valga solo se $\alpha >0$, vale a dire se $u$ e $w$ hanno non solo la stessa direzione, ma anche lo stesso verso. Dico bene?
\[\|u+w\|\le \|u\|+\|w\|\]
è un'uguaglianza se e solo se $u$ e $w$ sono paralleli. Tuttavia se prendo $w=\alpha u$ trovo
\[\|u+\alpha u\|=|\alpha+1|\|u\|\qquad \|u\|+\|\alpha u\|=(|\alpha|+1)\|u\|\]
C'è qualcosa che non va
Data la loro semplicità, dubito di aver sbagliato i conti (ma non si sa mai... ). Quello che mi viene da pensare, anche ragionando sul significato concreto di $||\ \cdot\ ||$, è che quello che Sernesi dice valga solo se $\alpha >0$, vale a dire se $u$ e $w$ hanno non solo la stessa direzione, ma anche lo stesso verso. Dico bene?
Risposte
Si, se avessero veso opposto quell'uguaglianza non potrebbe mai essere verificata.
Ottimo, ri-grazie 
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