Dubbi sparsi di Algebra lineare (proiezioni e diagonalizzabilità)
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su alcuni esercizi di algebra lineare
AGGIUNTA: 0) Sia $A$ una matrice reale $nxxn$ tale che $A^2=A$. Trovare i possibili autovalori di $A$.
Io ho detto che, dato che $A^2=A$ allora so che $A(A-I)=0$, dove $I$ indica la matrice identità.
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$, dunque gli unici due possibili autovalori di $A$ sono $\lambda=0$ e $\lambda=1$.
Penso che questo procedimento sia corretto, tuttavia la prof me lo ha segnato come errato in quanto voleva che si facesse proprio il conto, ovvero che detto $v\ne 0$ un autovettore relativo all'autovalore $\lambda$, si deve avere
$Av=\lambda v$ e usando che $A=A^2$ si ha anche $A^2v=\lambda v$. D'altra parte $A^2v=\lambda^2 v$ per cui ho: $\lambda^2 v =\lambda v$ cioè (essendo $v\ne 0$) $\lambda=0,1$.
1) Dato il sottospazio di $\mathbb{R^4}$ definito da: $U=\{x+z=0, \ x+y-w=0\}$, scrivere la matrice di proiezione $P_U$ su $U$
Io ho ragionato così: una base di $U$ è data da $B_U=\{(-1,0,1,-1)^T;\ (0,1,0,1)^T\}=\{u_1;\ u_2 \}$.
Cerco poi una base ortogonale di $U$ usando Grahm-Schmidt, fisso $w_1=u_$ e per cercare il secondo vettore ortogonale uso la formula:
$$w_2=u_2-\frac{\langle w_1,\ u_2\rangle}{||w_1||^2}w_1$$
A questo punto ho trovato $B'_U=\{w_1;\ w_2\}$ base ortogonale di U e quindi per trovare la matrice di proiezione calcolo le proiezioni della base canonica su $U$.
Detti $e_1,\ e_2,\ e_3,\ e_4$ i versori canonici, per calcolare le proiezioni uso che:
$$P_U(e_i)=\frac{\langle e_i,\ w_1\rangle}{||w_1||^2}w_1 + \frac{\langle e_i,\ w_2\rangle}{||w_2||^2}w_2$$
dunque la matrice cercata sarà una matrice $2\times4$ dove le colonne sono i coefficienti di $w_1$ e $w_2$ che trovo con la formula di sopra.
Corretto?
2) Data la matrice \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&k&1\\0&1&2 \end{bmatrix}
dire per quali $k$ reali è diagonalizzabile.
Io ho detto che, essendo la matrice simmetrica e reale per ogni $k$ reale, allora è sempre diagonalizzabile per il teorema spettrale
AGGIUNTA: 0) Sia $A$ una matrice reale $nxxn$ tale che $A^2=A$. Trovare i possibili autovalori di $A$.
Io ho detto che, dato che $A^2=A$ allora so che $A(A-I)=0$, dove $I$ indica la matrice identità.
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$, dunque gli unici due possibili autovalori di $A$ sono $\lambda=0$ e $\lambda=1$.
Penso che questo procedimento sia corretto, tuttavia la prof me lo ha segnato come errato in quanto voleva che si facesse proprio il conto, ovvero che detto $v\ne 0$ un autovettore relativo all'autovalore $\lambda$, si deve avere
$Av=\lambda v$ e usando che $A=A^2$ si ha anche $A^2v=\lambda v$. D'altra parte $A^2v=\lambda^2 v$ per cui ho: $\lambda^2 v =\lambda v$ cioè (essendo $v\ne 0$) $\lambda=0,1$.
1) Dato il sottospazio di $\mathbb{R^4}$ definito da: $U=\{x+z=0, \ x+y-w=0\}$, scrivere la matrice di proiezione $P_U$ su $U$
Io ho ragionato così: una base di $U$ è data da $B_U=\{(-1,0,1,-1)^T;\ (0,1,0,1)^T\}=\{u_1;\ u_2 \}$.
Cerco poi una base ortogonale di $U$ usando Grahm-Schmidt, fisso $w_1=u_$ e per cercare il secondo vettore ortogonale uso la formula:
$$w_2=u_2-\frac{\langle w_1,\ u_2\rangle}{||w_1||^2}w_1$$
A questo punto ho trovato $B'_U=\{w_1;\ w_2\}$ base ortogonale di U e quindi per trovare la matrice di proiezione calcolo le proiezioni della base canonica su $U$.
Detti $e_1,\ e_2,\ e_3,\ e_4$ i versori canonici, per calcolare le proiezioni uso che:
$$P_U(e_i)=\frac{\langle e_i,\ w_1\rangle}{||w_1||^2}w_1 + \frac{\langle e_i,\ w_2\rangle}{||w_2||^2}w_2$$
dunque la matrice cercata sarà una matrice $2\times4$ dove le colonne sono i coefficienti di $w_1$ e $w_2$ che trovo con la formula di sopra.
Corretto?
2) Data la matrice \begin{bmatrix} 2&0&0\\0&k&1\\0&1&2 \end{bmatrix}
dire per quali $k$ reali è diagonalizzabile.
Io ho detto che, essendo la matrice simmetrica e reale per ogni $k$ reale, allora è sempre diagonalizzabile per il teorema spettrale
Risposte
"Lebesgue":
... la matrice cercata sarà una matrice $2xx4$ ...
Trattandosi di un endomorfismo, deve necessariamente essere una matrice $4xx4$.
"Lebesgue":
Io ho detto che ...
Ok.
"anonymous_0b37e9":
trattandosi di un endomorfismo, deve necessariamente essere una matrice $4xx4$.
mm come mai? Io non sto scrivendo la matrice associata alla proiezione $P_U:\mathbb{R}^4\to U$ con $U$ che ha dimensione 2? Quindi non capisco, perché deve essere $4xx4$?
Per definizione. In ingresso, un vettore appartenente allo spazio vettoriale. In uscita, la sua proiezione appartenente al medesimo spazio vettoriale. Ad ogni modo, un procedimento meccanico è quello sottostante:
essendo $vecu$ e $vecv$ una base ortonormale del sottospazio. Come puoi osservare, $hatP$ è una matrice $4xx4$.
$hatP=[[u_1],[u_2],[u_3],[u_4]]*[[u_1,u_2,u_3,u_4]]+[[v_1],[v_2],[v_3],[v_4]]*[[v_1,v_2,v_3,v_4]]$
essendo $vecu$ e $vecv$ una base ortonormale del sottospazio. Come puoi osservare, $hatP$ è una matrice $4xx4$.
"anonymous_0b37e9":
Per definizione. In ingresso, un vettore appartenente allo spazio vettoriale. In uscita, la sua proiezione appartenente al medesimo spazio vettoriale. Ad ogni modo, un procedimento meccanico è quello sottostante:
$hatP=[[u_1],[u_2],[u_3],[u_4]]*[[u_1,u_2,u_3,u_4]]+[[v_1],[v_2],[v_3],[v_4]]*[[v_1,v_2,v_3,v_4]]$
essendo $vecu$ e $vecv$ una base ortonormale del sottospazio. Come puoi osservare, $hatP$ è una matrice $4xx4$.
Okay okay, allora avevo capito male io, perfetto. Però il procedimento per trovare le proiezioni dei vettori canonici è corretto (a livello di formula intendo, perché poi avrei dovuto proseguire con i conti)?
"Lebesgue":
... il procedimento per trovare le proiezioni dei vettori canonici è corretto ...
Corretto. Tuttavia, se la base del sottospazio è ortonormale, più meccanico e sintetico il procedimento del mio ultimo messaggio. Formalmente sono la stessa cosa.
"anonymous_0b37e9":
Corretto. Tuttavia, se la base del sottospazio è ortonormale, più meccanico e sintetico il procedimento del mio ultimo messaggio. Formalmente sono la stessa cosa.
Perfetto, grazie mille Elias!
Perdonami se ti importuno, volevo chiederti invece cosa mi sapessi dire all'esercizio che ho aggiunto poco fa e che ho numerato come 0)
Premesso che:
1. Il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.
2. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno gli stessi fattori primi.
non si comprende lo stralcio sottostante:
Mi sembra che tu abbia fatto sempre riferimento al polinomio minimo, tra l'altro, non distinguendo nettamente il polinomio la cui variabile è $A$ dal polinomio la cui variabile è $\lambda$.
P.S.
Vero è che $A^2=A$ è la definizione di proiettore. Magari sarebbe bastato questo.
1. Il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.
2. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno gli stessi fattori primi.
non si comprende lo stralcio sottostante:
"Lebesgue":
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$ ...
Mi sembra che tu abbia fatto sempre riferimento al polinomio minimo, tra l'altro, non distinguendo nettamente il polinomio la cui variabile è $A$ dal polinomio la cui variabile è $\lambda$.
P.S.
Vero è che $A^2=A$ è la definizione di proiettore. Magari sarebbe bastato questo.
"anonymous_0b37e9":
Premesso che:
1. Il polinomio minimo è un divisore del polinomio caratteristico.
2. Il polinomio minimo e il polinomio caratteristico hanno gli stessi fattori primi.
non si comprende lo stralcio sottostante:
[quote="Lebesgue"]
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$ ...
Mi sembra che tu abbia fatto sempre riferimento al polinomio minimo, tra l'altro, non distinguendo nettamente il polinomio la cui variabile è $A$ dal polinomio la cui variabile è $\lambda$.
P.S.
Vero è che $A^2=A$ è la definizione di proiettore. Magari sarebbe bastato questo.[/quote]
In realtà il polinomio minimo è molto più che il divisore del polinomio caratteristico. Il polinomio minimo è il generatore dell'ideale di cui fa parte anche il polinomio caratteristico ed è quindi tale per cui, se il polinomio minimo di $A$ è
$\mu_A(t)=t^n+a_{n-1}t^{n-1}+...+a_1t+a_0$, allora si ha che
$A^n+a_{n-1}A^{n-1}+...+a_0I=0$
Dunque, dato che deve valere $A^2-A=0$ allora sicuramente il polinomio $t^2-t$ appartiene all'ideale generato dal polinomio minimo di $A$, ovvero il $\mu_A(t) | t^2-t$. (Attenzione, NON sto dicendo che $t^2-t$ è il polinomio caratteristico di $A$)
Inoltre, dato che polinomio minimo e caratteristico hanno gli stessi fattori primi, le loro radici sono le stesse, per cui gli autovalori di $A$ sono le radici del polinomio minimo.
Poiché siamo in campo reale e $\mu_A(t) | t^2-t$ allora le uniche possibili radici del polinomio minimo sono 0 e 1, ovvero gli unici possibili autovalori di $A$.
Ps non sapevo che $A^2=A$ fosse la definizione del proiettore
"Lebesgue":
Ciao a tutti, ho alcuni dubbi su alcuni esercizi di algebra lineare
AGGIUNTA: 0) Sia $A$ una matrice reale $nxxn$ tale che $A^2=A$. Trovare i possibili autovalori di $A$.
Io ho detto che, dato che $A^2=A$ allora so che $A(A-I)=0$, dove $I$ indica la matrice identità.
Allora il polinomio minimo di $A$ deve dividere il polinomio $t(t-1)$, dunque gli unici due possibili autovalori di $A$ sono $\lambda=0$ e $\lambda=1$.
Penso che questo procedimento sia corretto, tuttavia la prof me lo ha segnato come errato
Se puoi vai a parlare con la prof, il tuo procedimento è corretto, mi sembra un po' forte segnartelo come errato, è sicuramente una svista. Tieni presente che correggere gli esami è una delle attività più estenuanti, un errore può capitare benissimo.
Pure secondo me non è "un errore" ma un buon argomento; manca la parte in cui dimostri che non vi siano altri autovalori... premesso che io non ho mai usato il polinomio minimo, quindi non conosco tutta la sua portata!
Il polinomio minimo di \(A\) ha gli autovalori di \(A\) come radici e divide qualsiasi polinomio \(p\) tale che \(p(A)=0\). Se ci fosse un altro autovalore \(\lambda\ne 0,1\), il polinomio minimo dovrebbe contenere il fattore \(t-\lambda\), ma se fosse cosí non potrebbe dividere \(t(t-1)\). Quindi l'argomento è corretto e completo.
Ecco: non sapevo che le radici del polinomio minimo di una matrice quadrata fossero tutti e i soli autovalori della matrice stessa.
...quindi da "argomento" lo si deve elevare a dimostrazione di una riga senza calcoli: le mie preferite!
...quindi da "argomento" lo si deve elevare a dimostrazione di una riga senza calcoli: le mie preferite!
Si, in effetti, la dimostrazione della prof è la stessa cosa eh, perché lei parte dall'osservazione ovvia che, se \(Av=\lambda v\) (e \(v\ne 0\)) allora \(p(A)v=p(\lambda)v\); di conseguenza la relazione \(p(A)=0\) implica che \(p(\lambda)=0\). (Praticamente abbiamo ridimostrato che gli autovalori sono zeri del polinomio minimo).
Quindi la prof sta facendo un ragionamento più diretto, con meno definizioni (non serve introdurre polinomi minimi), ed essenzialmente è la stessa cosa. Entrambi i procedimenti sono corretti.
Quindi la prof sta facendo un ragionamento più diretto, con meno definizioni (non serve introdurre polinomi minimi), ed essenzialmente è la stessa cosa. Entrambi i procedimenti sono corretti.
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