Esistenza di sistemi linearmente indipendenti.
Buonasera. Ho questo problema.
Se considero un sottospazio vettoriale $W$ non nullo allora $W$ contiene sistemi linearmente indipendenti.
Per provare questa affermazione, ho provato a fare così:
Sia $mathfrak{F}$ famiglia di sistemi linearmente indipendenti $S$ con $SsubseteqW$. Allora la tesi è provare che $mathfrak{F} ne emptyset$.
Suppongo per assurdo che $mathfrak{F}=emptyset$, quindi $W$ contiene solo sistemi linearmente dipendenti.
Dai sistemi linearmente dipendenti contenuti in $W$ non è possibile estrarre sistemi linearmente indipendenti poiché per assurdo $mathfrak{F}=emptyset$. Allora $W$ contiene un sol sistema linearmente dipendente ed è ${O}$, poiché $W$ ha un sol sistema linearmente dipendente necessariamente $W={O}$ e cioè assurdo.
Può andare bene?
Ciao
Se considero un sottospazio vettoriale $W$ non nullo allora $W$ contiene sistemi linearmente indipendenti.
Per provare questa affermazione, ho provato a fare così:
Sia $mathfrak{F}$ famiglia di sistemi linearmente indipendenti $S$ con $SsubseteqW$. Allora la tesi è provare che $mathfrak{F} ne emptyset$.
Suppongo per assurdo che $mathfrak{F}=emptyset$, quindi $W$ contiene solo sistemi linearmente dipendenti.
Dai sistemi linearmente dipendenti contenuti in $W$ non è possibile estrarre sistemi linearmente indipendenti poiché per assurdo $mathfrak{F}=emptyset$. Allora $W$ contiene un sol sistema linearmente dipendente ed è ${O}$, poiché $W$ ha un sol sistema linearmente dipendente necessariamente $W={O}$ e cioè assurdo.
Può andare bene?
Ciao
Risposte
Dato che per ipotesi \(\displaystyle\exists\underline{v}\in\mathbb{W}\setminus\left\{\underline{0}\right\}\), allora \(\displaystyle\left\{\underline{v}\right\}\) è un sistema linearmente indipendente.
P.S.: il tuo ragionamento richiede di dimostrare che da ogni sistema linearmente dipendente si possa estrarre un sistema linearmente indipendente; nel caso dei sistemi finiti puoi applicare il metodo degli scarti successivi, ma coi sistemi infiniti non ci riusciresti!
P.S.: il tuo ragionamento richiede di dimostrare che da ogni sistema linearmente dipendente si possa estrarre un sistema linearmente indipendente; nel caso dei sistemi finiti puoi applicare il metodo degli scarti successivi, ma coi sistemi infiniti non ci riusciresti!
"j18eos":Grazie
Dato che per ipotesi \( \displaystyle\exists\underline{v}\in\mathbb{W}\setminus\left\{\underline{0}\right\} \), allora \( \displaystyle\left\{\underline{v}\right\} \) è un sistema linearmente indipendente.
Invece, qui
"j18eos":dici di distinguere due casi secondo $V$ sia finitamente generato oppure non lo sia?
P.S.: il tuo ragionamento richiede di dimostrare che da ogni sistema linearmente dipendente si possa estrarre un sistema linearmente indipendente; nel caso dei sistemi finiti puoi applicare il metodo degli scarti successivi, ma coi sistemi infiniti non ci riusciresti!
"Yuyu_13":Sì, ma dico anche che il caso della infinita generabilità di \(\displaystyle\mathbb{V}\) devi invocare intelligentemente l'Assioma della Scelta, dato che un ragionamento simile equivale a dimostrare che per un tale spazio vettoriale esiste almeno una base.
[...] dici di distinguere due casi secondo $V$ sia finitamente generato oppure non lo sia?
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