Perchè le forme differenziali sono speciali?
Non capisco perché, tra i tensori, sono particolarmente importanti quelli k volte covarianti asimmetrici.
Non capisco il perché servono proprio queste k-forme per fare integrazione e differenziazione.
Non si potrebbe lavorare semplicemente con i tensori classici? Perché definire tutti questi concetti come prodotto wedge, derivata esterna, ecc.? Quale è il ruolo di queste definizioni con i tensori normali? Non si possono fare o sono riferiti ad altri concetti?
Qualcuno mi può spiegare in parole semplici? grazie
Non capisco il perché servono proprio queste k-forme per fare integrazione e differenziazione.
Non si potrebbe lavorare semplicemente con i tensori classici? Perché definire tutti questi concetti come prodotto wedge, derivata esterna, ecc.? Quale è il ruolo di queste definizioni con i tensori normali? Non si possono fare o sono riferiti ad altri concetti?
Qualcuno mi può spiegare in parole semplici? grazie
Risposte
Per fare gli stessi teoremi di integrazione dell'analisi 2 sulle varietà.
"In parole semplici" un elemento di un'algebra esterna si comporta come un elemento d'area generato da due vettori. Qualsiasi cosa che mangi $k$ vettori e dia il volume dell'edro da essi generato deve soddisfare una serie di proprietà, che sono quelle che definiscono il prodotto nell'algebra esterna: ad esempio, quando esistono due vettori linearmente dipendenti nella $k$-upla, il volume dell'edro che formano è zero. E questo volume è considerato "con segno", quindi se rovesci un vettore, il modulo del volume non cambia, ma il segno sì.
Ovviamente sostanziare questa idea in maniera formale necessita delle definizioni che non capisci... E per quello si tratta di fidarsi che no, "non basta" fare senza queste costruzioni, servono davvero, e cercare di capirle facendo esercizi.
Siccome sembra sia una prassi benvoluta consigliare di andare a leggere le cose alla fonte, il lavoro di Grassmann è molto geometrico, potresti cercarne una traduzione in inglese e leggere quella. "Of course, you'll also have to suffer through a lot of metaphysical and theological mumbo-jumbo to get at the mathematics. But the mathematics is brilliant indeed." https://mathoverflow.net/questions/2224 ... ebra/22256
Ovviamente sostanziare questa idea in maniera formale necessita delle definizioni che non capisci... E per quello si tratta di fidarsi che no, "non basta" fare senza queste costruzioni, servono davvero, e cercare di capirle facendo esercizi.
Siccome sembra sia una prassi benvoluta consigliare di andare a leggere le cose alla fonte, il lavoro di Grassmann è molto geometrico, potresti cercarne una traduzione in inglese e leggere quella. "Of course, you'll also have to suffer through a lot of metaphysical and theological mumbo-jumbo to get at the mathematics. But the mathematics is brilliant indeed." https://mathoverflow.net/questions/2224 ... ebra/22256
"megas_archon":
quando esistono due vettori linearmente indipendenti nella $k$-upla, il volume dell'edro che formano è zero.
Magari ho bevuto troppo ma...
"Bokonon":
[quote="megas_archon"]quando esistono due vettori linearmente indipendenti nella $k$-upla, il volume dell'edro che formano è zero.
Magari ho bevuto troppo ma...[/quote] Nah, troppo kvas io invece
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