Frontiera e segmenti dall'interno all'esterno di un insieme
Buonasera a tutti! Leggendo la dimostrazione di un teorema (di invertibilità globale, dal Fusco-Marcellini-Sbordone), ho avuto problemi nel giustificare un passaggio che (credo) sia squisitamente topologico. Per chiarezza, vi riporto i passi problematici (non credo sia necessario sapere la loro specifica natura; qualora lo fosse, lo indicherò meglio successivamente): considerate \(Y\subset\mathbb{R}^n\) un chiuso contenuto in un dominio connesso \(T\subset\mathbb{R}^n\) (nel senso che è la chiusura di un aperto connesso) per cui si è già provato che vale \(Y\cap\overset{\circ}{T}\subset\overset{\circ}{Y}\); l'obiettivo è mostrare che \(Y\subset\partial T\).
Se \(\bar{y}\) è di frontiera per $Y$, in quanto chiuso, è ovvio che \(\partial Y\cap P\ne \emptyset\) ma, non appena \(\bar{y}\) lo prendiamo interno ad $Y$, il problema mi diventa non banale: naturalmente, $y_1$ è esterno a $Y$ quindi la poligonale ha evidentemente almeno un vertice interno ed un vertice esterno ad $Y$ tra loro consecutivi; diciamoli rispettivamente $a$ e $b$. Se dimostrassi che il segmento $[a,b]$ interseca $\partial Y$ in almeno un punto, avrei ovviamente che $\partial Y\cap P\ne\emptyset$: intuitivamente, penso che quanto vorrei provare sia vero e legittimo eppure non ho trovato alcun modo per farlo. Vi ringrazio già nell'attesa di vostre risposte più esperte
Per provare che \(Y\subset\partial T\), supponiamo per assurdo che esista \(\bar{y}\in Y\) interno a T. Se così fosse, risulterebbe anche \(\overset{\circ}{T}\subset Y\); infatti, se un punto $y_1$ interno a $T$ non appartenesse a $Y$, essendo \(\overset{\circ}{T}\) connesso, i due punti \(\bar{y}\) e $y_1$ potrebbero essere congiunti mediante una poligonale $P$ tutta contenuta in \(\overset{\circ}{T}\) e dovrebbe essere \[\partial Y\cap\overset{\circ}{T}\supset\partial Y\cap P\ne\emptyset\] il che contrasta \(Y\cap\overset{\circ}{T}\subset\overset{\circ}{Y}\).
Se \(\bar{y}\) è di frontiera per $Y$, in quanto chiuso, è ovvio che \(\partial Y\cap P\ne \emptyset\) ma, non appena \(\bar{y}\) lo prendiamo interno ad $Y$, il problema mi diventa non banale: naturalmente, $y_1$ è esterno a $Y$ quindi la poligonale ha evidentemente almeno un vertice interno ed un vertice esterno ad $Y$ tra loro consecutivi; diciamoli rispettivamente $a$ e $b$. Se dimostrassi che il segmento $[a,b]$ interseca $\partial Y$ in almeno un punto, avrei ovviamente che $\partial Y\cap P\ne\emptyset$: intuitivamente, penso che quanto vorrei provare sia vero e legittimo eppure non ho trovato alcun modo per farlo. Vi ringrazio già nell'attesa di vostre risposte più esperte
Risposte
A me viene in mente il teorema della curva chiusa di Jordan; magari non sei nelle medesime ipotesi, ma a qualcosa potrebbe servirti... fammi sapere!
L'idea sarebbe quella, ma le condizioni in cui viene posto il problema mi sembrano troppo generiche per pensare a qualcosa come il teorema di Jordan... Pensavo che dietro ci fosse qualche ragione topologica più basilare ma così non sembra...
Quando stavo per arrendermi ho trovato la retta via: spero che l'idea di risoluzione che vi propongo sia formalmente corretta 
Considerando l'applicazione continua \[\gamma: t\in[0,1]\mapsto ty+(1-t)x\in[x,y]\] possiamo ricondurre il nostro problema all'affermazione generale:
Per verificarlo, supponiamo per assurdo che $f([0,1])\cap\partial S$ sia vuoto: necessariamente risulterà \[f([0,1])\subset\overset{\circ}{S}\cup\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}}\] da cui risulterebbe \([0,1]\subset f^{-1}(\overset{\circ}{S})\cup f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\). Per la continuità di $f$, \(f^{-1}(\overset{\circ}{S})\) e \( f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\) sono aperti ma questo è in contraddizione con la connessione di $[0,1]$ essendo tali due aperti disgiunti e non vuoti (si noti che \(0\in f^{-1}(\overset{\circ}{S})\) e \(1\in f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\)).
Tornando al problema proposto, concludiamo da quanto appena verificato che esiste almeno un $t\in[0,1]$ tale che $\gamma(t)\in\partial Y$ che, in altri termini, è la tesi.
Considerando l'applicazione continua \[\gamma: t\in[0,1]\mapsto ty+(1-t)x\in[x,y]\] possiamo ricondurre il nostro problema all'affermazione generale:
Sia $X$ uno spazio topologico e $S\subset X$ non vuoto. Se $f:[0,1]\to S$ è continua e tale che \(f(0)\in\overset{\circ}{S}\) e \(f(1)\in\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}}\), allora \(f([0,1])\cap\partial S\ne\emptyset\).
Per verificarlo, supponiamo per assurdo che $f([0,1])\cap\partial S$ sia vuoto: necessariamente risulterà \[f([0,1])\subset\overset{\circ}{S}\cup\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}}\] da cui risulterebbe \([0,1]\subset f^{-1}(\overset{\circ}{S})\cup f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\). Per la continuità di $f$, \(f^{-1}(\overset{\circ}{S})\) e \( f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\) sono aperti ma questo è in contraddizione con la connessione di $[0,1]$ essendo tali due aperti disgiunti e non vuoti (si noti che \(0\in f^{-1}(\overset{\circ}{S})\) e \(1\in f^{-1}(\overset{\circ}{\widehat{X\setminus S}})\)).
Tornando al problema proposto, concludiamo da quanto appena verificato che esiste almeno un $t\in[0,1]$ tale che $\gamma(t)\in\partial Y$ che, in altri termini, è la tesi.
A me torna tutto;
io stavo pensando una soluzione che richiede il teorema della curva chiusa di Jordan in dimensione superiore, ma questa è mooolto più elementare e chiara di quella a cui sono giunto.
P.S.: non mi si chieda di trascriverla, perché non ne avrei il tempo
io stavo pensando una soluzione che richiede il teorema della curva chiusa di Jordan in dimensione superiore, ma questa è mooolto più elementare e chiara di quella a cui sono giunto.
P.S.: non mi si chieda di trascriverla, perché non ne avrei il tempo
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