Chiarificazione sulla definizione di insiemi aperti
Inizio con il dire che ho iniziato nell'ultimo periodo a studiare (anche se forse è più corretto dire informarmi sulla) topologia, quindi non avendo un tutore o un insegnante, ma prendendo informazioni qua e là non sono un maestro di questo argomento e anzi penso proprio di avere una gran confusione in testa...
Passando alla questione vera e propria (spero sia il posto giusto dove chiedere e che non sia troppo stupida
):
Non ho capito molto bene la definizione di "insieme aperto" in topologia. O meglio, non capisco se (e come) le varie definizioni di insieme aperto siano equivalenti. Da quello che ho capito:
-Un insieme $A\inX$ è aperto se $\AAa\inA$ esiste un $r\inRR$ tale che la palla di raggio $r$ centrata in $a$ $B_r(a)$ è contenuta in $A$. E questo mi sembra chiaro e piuttosto evidente.
Inoltre:
-Una insieme $\tau\subeP(A)$ è una topologia di $A$ se $\phi,A\in\tau$ e presi insiemi in $\tau$ la loro unione è in $tau$ e la loro intersezione numerabile è in $tau$. Gli elementi di $tau$ sono chiamati aperti. Questa definizione mi sembra meno intuitiva ma comunque accettabile...
Però qui iniziano a venirmi i dubbi. Prendiamo la topologia $\tau={\phi, \RR, [a,b]}$ in $\RR$. L'intervallo $[a,b]$ secondo la prima definizione dovrebbe essere un insieme non aperto (nei punti $a$ e $b$ non posso avere nessuna palla compresa completamente nell'intervallo) ma per la seconda definizione $[a,b]$ essendo elemento di una topologia è un insieme aperto.
Ho capito male una delle due definizioni? Ho fatto qualche errore oppure ho messo a confronto cose in modo sbagliate? Come già detto ho molta confusione in testa ed è da un po' che questo dilemma mi frulla per la mente
Passando alla questione vera e propria (spero sia il posto giusto dove chiedere e che non sia troppo stupida
):Non ho capito molto bene la definizione di "insieme aperto" in topologia. O meglio, non capisco se (e come) le varie definizioni di insieme aperto siano equivalenti. Da quello che ho capito:
-Un insieme $A\inX$ è aperto se $\AAa\inA$ esiste un $r\inRR$ tale che la palla di raggio $r$ centrata in $a$ $B_r(a)$ è contenuta in $A$. E questo mi sembra chiaro e piuttosto evidente.
Inoltre:
-Una insieme $\tau\subeP(A)$ è una topologia di $A$ se $\phi,A\in\tau$ e presi insiemi in $\tau$ la loro unione è in $tau$ e la loro intersezione numerabile è in $tau$. Gli elementi di $tau$ sono chiamati aperti. Questa definizione mi sembra meno intuitiva ma comunque accettabile...
Però qui iniziano a venirmi i dubbi. Prendiamo la topologia $\tau={\phi, \RR, [a,b]}$ in $\RR$. L'intervallo $[a,b]$ secondo la prima definizione dovrebbe essere un insieme non aperto (nei punti $a$ e $b$ non posso avere nessuna palla compresa completamente nell'intervallo) ma per la seconda definizione $[a,b]$ essendo elemento di una topologia è un insieme aperto.
Ho capito male una delle due definizioni? Ho fatto qualche errore oppure ho messo a confronto cose in modo sbagliate? Come già detto ho molta confusione in testa ed è da un po' che questo dilemma mi frulla per la mente
Risposte
Hai una grande confusione in testa. Dato un insieme $X$ qualsiasi, una topologia su $X$ è una collezione $\tau$ di sottoinsiemi di $X$ che rispetta le condizioni seguenti:
1) $X,\emptyset\in \tau$.
2) se \(\{U_i\}_{i\in I}\) è una famiglia qualsiasi di elementi di $\tau$, la loro unione è ancora un elemento di $\tau$.
3) se $A,B\in \tau$ allora $A\cap B\in \tau$.
Gli elementi di $\tau$ si chiamano aperti. Se $X=\mathbb R$, la collezione $\tau$ dei sottoinsiemi che sono unioni di palle aperte è una topologia. Verifica per esercizio che rispetta 1),2),3). Invece la collezione $\tau$ degli intervalli del tipo $[a,b]$ non è una topologia perchè l'unione di intervalli non è necessariamente un intervallo.
1) $X,\emptyset\in \tau$.
2) se \(\{U_i\}_{i\in I}\) è una famiglia qualsiasi di elementi di $\tau$, la loro unione è ancora un elemento di $\tau$.
3) se $A,B\in \tau$ allora $A\cap B\in \tau$.
Gli elementi di $\tau$ si chiamano aperti. Se $X=\mathbb R$, la collezione $\tau$ dei sottoinsiemi che sono unioni di palle aperte è una topologia. Verifica per esercizio che rispetta 1),2),3). Invece la collezione $\tau$ degli intervalli del tipo $[a,b]$ non è una topologia perchè l'unione di intervalli non è necessariamente un intervallo.
"hydro":
Invece la collezione $\tau$ degli intervalli del tipo $[a,b]$ non è una topologia perchè l'unione di intervalli non è necessariamente un intervallo.
Scusa non sono stato abbastanza chiaro forse. Con $\tau={\emptyset, \RR, [a,b]}$ intendo una topologia con un unico intervallo, $a$ e $b$ non sono variabili, ma due numeri fissi. Ad esempio $[2,5]$. La topologia sarebbe quindi $\tau={\emptyset, \RR, [2,5]}$. Non vorrei sbagliarmi ma $\tau$ è proprio una topologia in $\RR$. Dunque la mia domanda era se devo considerare $[2,5]$ un insieme aperto (per seconda definizione) o non aperto (per prima definizione). Ovviamente sto sbagliando qualcosa, vorrei capire dove
Quelle definizioni non sono equivalenti: la prima è la definizione della topologia euclidea su \(\mathbb R\), che è metrizzabile, mediante un sistema di palle aperte. La seconda è la definizione generale di topologia su un insieme generico.
La definizione di topologia non ha niente di geometrico; è una definizione "logica". (Qualcuno direbbe che da Tarski la topologia generale è quella parte di logica che studia la generalizzazione della nozione di vero da una nozione binaria -\(\phi\) è vera sì/no- a una nozione "locale" -\(\phi\) è vera "un po'" e questo po' è indicato da un insieme aperto-.) Per un motivo profondo, poi, la topologia parla anche di geometria, ma questo è un sottoprodotto secondario (il fatto che storicamente la topologia sia nata per parlare di spazi è tanto vero quanto del tutto irrilevante; così come nel 2022 resiste "la superstiziosa e vana abitudine di cercare un senso nei libri", resiste anche la altrettanto superstiziosa e vana abitudine di cercare una "geometria" nella definizione di topologia: non c'è. Quello che ha significato geometrico sono specializzazioni estremamente peculiari della definizione generale: topologie metriche, euclidee, varietà $C^k$, gruppi abeliani topologici...).
Ora, venendo al tuo esempio: dato un insieme X qualsiasi, la collezione di sottoinsiemi \(\tau_U := \{\varnothing, U, X\}\) è una topologia su X; capisci perché questa famiglia soddisfa tutti gli assiomi 1,2,3 della definizione che ti ha ricordato hydro?
La definizione di topologia non ha niente di geometrico; è una definizione "logica". (Qualcuno direbbe che da Tarski la topologia generale è quella parte di logica che studia la generalizzazione della nozione di vero da una nozione binaria -\(\phi\) è vera sì/no- a una nozione "locale" -\(\phi\) è vera "un po'" e questo po' è indicato da un insieme aperto-.) Per un motivo profondo, poi, la topologia parla anche di geometria, ma questo è un sottoprodotto secondario (il fatto che storicamente la topologia sia nata per parlare di spazi è tanto vero quanto del tutto irrilevante; così come nel 2022 resiste "la superstiziosa e vana abitudine di cercare un senso nei libri", resiste anche la altrettanto superstiziosa e vana abitudine di cercare una "geometria" nella definizione di topologia: non c'è. Quello che ha significato geometrico sono specializzazioni estremamente peculiari della definizione generale: topologie metriche, euclidee, varietà $C^k$, gruppi abeliani topologici...).
Ora, venendo al tuo esempio: dato un insieme X qualsiasi, la collezione di sottoinsiemi \(\tau_U := \{\varnothing, U, X\}\) è una topologia su X; capisci perché questa famiglia soddisfa tutti gli assiomi 1,2,3 della definizione che ti ha ricordato hydro?
@Folpo13 In sintesi: un insieme è aperto secondo una certa topologia, ma può benissimo non essere aperto secondo un'altra topologia.
Ad esempio: su \(\displaystyle\mathbb{R}\) sei abituato a ragionare con la topologia naturale, la quale è una possibile topologia; ma puoi benissimo considerare la topologia banale \(\displaystyle\{\emptyset,\mathbb{R}\}\), la topologia discreta \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\), la topologia con tre aperti, la topologia cofinita, la topologia conumerabile, la topologia concentrata su un un punto, la topologia di Sorgenfrey, e.o.
Tutte queste soddisfano la definizione generale ed astratta di topologia, seppur sono tutte ben diverse tra di loro.
Domanda per capire: tu quale topologia "strana" hai considerata su \(\displaystyle\mathbb{R}\)?
Esercizio: quali sono le topologie su un insieme di due elementi? E con tre elementi?
Ad esempio: su \(\displaystyle\mathbb{R}\) sei abituato a ragionare con la topologia naturale, la quale è una possibile topologia; ma puoi benissimo considerare la topologia banale \(\displaystyle\{\emptyset,\mathbb{R}\}\), la topologia discreta \(\displaystyle\mathcal{P}(\mathbb{R})\), la topologia con tre aperti, la topologia cofinita, la topologia conumerabile, la topologia concentrata su un un punto, la topologia di Sorgenfrey, e.o.
Tutte queste soddisfano la definizione generale ed astratta di topologia, seppur sono tutte ben diverse tra di loro.
Domanda per capire: tu quale topologia "strana" hai considerata su \(\displaystyle\mathbb{R}\)?
Esercizio: quali sono le topologie su un insieme di due elementi? E con tre elementi?
"Folpo13":
-Un insieme $A\inX$ è aperto se $\AAa\inA$ esiste un $r\inRR$ tale che la palla di raggio $r$ centrata in $a$ $B_r(a)$ è contenuta in $A$. E questo mi sembra chiaro e piuttosto evidente.
raggio? Qui stai parlando di uno spazio metrico.
Ditemi se ho capito bene...
L'intervallo $[a,b]$ è un aperto nella topologia $\tau={\emptyset, \RR, [a, b]}$ su $\RR$, che è una topologia perché $\emptyset, \RR \in \tau$ e unione o intersezione di elementi nella topologia sono anche essi in $\tau$
L'intervallo $[a,b]$ non è invece aperto però considerando uno spazio metrico in $\RR$ in cui la funzione distanza $d(x,y)$ è definita come $d(x,y)=\abs(x-y)$? E in questo caso applico la definizione delle palle di determinato raggio e vedo che in $a$ e $b$ non posso costruire nessuna palla di qualsiasi raggio che sia dentro l'intervallo
In pratica il mio errore era quello di mettere a confronto la definizione di insieme aperto in una topologia e quella di insieme aperto in uno spazio metrico, giusto?
L'intervallo $[a,b]$ è un aperto nella topologia $\tau={\emptyset, \RR, [a, b]}$ su $\RR$, che è una topologia perché $\emptyset, \RR \in \tau$ e unione o intersezione di elementi nella topologia sono anche essi in $\tau$
L'intervallo $[a,b]$ non è invece aperto però considerando uno spazio metrico in $\RR$ in cui la funzione distanza $d(x,y)$ è definita come $d(x,y)=\abs(x-y)$? E in questo caso applico la definizione delle palle di determinato raggio e vedo che in $a$ e $b$ non posso costruire nessuna palla di qualsiasi raggio che sia dentro l'intervallo
In pratica il mio errore era quello di mettere a confronto la definizione di insieme aperto in una topologia e quella di insieme aperto in uno spazio metrico, giusto?
"Folpo13":Nì, il tuo errore consisteva nel considerare equivalenti topologie diverse: la prima "generata" da una matrica, una seconda definita minimalmente con \(\displaystyle3\) aperti.
[...]In pratica il mio errore era quello di mettere a confronto la definizione di insieme aperto in una topologia e quella di insieme aperto in uno spazio metrico, giusto?
Se vuoi complicarti un po' la vita: prova a disegnare "una palla aperta" in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) dove la metrica è \(\displaystyle d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\). Enjoy!
Ok penso di esserci... 
veramente grazie a tutti per la pazienza e i vostri messaggi.
Solo una cosa...
Con topologia generata da una metrica si intende una topologia contenente tutti gli insiemi aperti "costruiti" usando quella metrica?
Non vorrei sbagliarmi... ma dovrebbe essere la celeberrima metrica del "taxi-cab" in $\RR^2$
. La palla dovrebbe essere una sorta di cubo ruotato
veramente grazie a tutti per la pazienza e i vostri messaggi.Solo una cosa...
"j18eos":
la prima "generata" da una metrica
Con topologia generata da una metrica si intende una topologia contenente tutti gli insiemi aperti "costruiti" usando quella metrica?
"j18eos":
Se vuoi complicarti un po' la vita: prova a disegnare "una palla aperta" in \(\displaystyle\mathbb{R}^2\) dove la metrica è \(\displaystyle d((x_1,y_1),(x_2,y_2))=|x_1-x_2|+|y_1-y_2|\). Enjoy!
Non vorrei sbagliarmi... ma dovrebbe essere la celeberrima metrica del "taxi-cab" in $\RR^2$
. La palla dovrebbe essere una sorta di cubo ruotato
"Folpo13":Non proprio: gli aperti sono tutti e i soli insiemi tali che per ogni punto esiste una "palla aperta" centrata in tale punto e contenuta nell'insieme considerato.
[...] Con topologia generata da una metrica si intende una topologia contenente tutti gli insiemi aperti "costruiti" usando quella metrica? [...]
"Folpo13":Credo che si chiami così tra gli analisti
[...] Non vorrei sbagliarmi... ma dovrebbe essere la celeberrima metrica del "taxi-cab" in $ \RR^2 $
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo