[Esercizio] Tutti i triangoli sono isosceli

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Sia \(K\) un campo dotato di una norma non archimedea, i.e. un campo \(K\) ed una mappa \( \left \| \cdot \right \| : K \to \mathbb{R} \) che verifica
\[ \left \| x \right \| =0 \text{ se e solo se } x=0 \]
\[ \left \| x y \right \| = \left \| x \right \| \left \| y \right \|, \forall x,y \in K \]
\[ \left \| x+y \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| y \right \| \}, \forall x,y \in K \]

Dimostra che in un campo dotato di una norma non archimedea si ha
1) Tutti i triangoli di lati \(x,y,x-y\) sono isosceli.
2) Tutti i punti interni di una palla \(B(x,r)= \{y \in K : \left \| x-y \right \| \leq r \} \) sono il centro della palla.

[j18eos]

Solo una domanda: cos'è un sottoinsieme "triangolo" in un campo [strike]ordinato[/strike]?

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Non saprei, ma chi ha detto che il campo è ordinato? E comunque ho specificato i lati del "triangolo", ad esempio su \(K= \mathbb{C} \), \(x,y,x-y\) formano i lati di un triangolo.

Edit: Non ho detto che \(K\) è un campo ordinato non-archimedeo ma che la norma è non-archimedea, ovvero \(K\) è uno spazio ultrametrico.

Edit: e una norma di un campo si dice non-archimedea se invece di soddisfare la più debole disuguaglianza triangolare soddisfa appunto la terza condizione che ho scritto (che è più forte)

[uomotorta]

La prima richiesta segue abbastanza facilmente usando la condizione 3), una volta che si osserva che la norma di $1_{K}$ è 1 per 2).
La seconda richiesta segue facilmente una volta che si prova che la palla aperta di centro un qualsiasi punto interno a $B(x,r)$ è uguale alla palla aperta di centro $x$ e raggio $r$.

[j18eos]

@3m0o Hai ragione: il campo non è ordinato a priori, e non è detto che lo sia a posteriori.

...e poi m'ha mandato in confusione il termine "triangolo isoscele", magari "insieme isoscele" non m'avrebbe confuso.

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"uomotorta":La prima richiesta segue abbastanza facilmente usando la condizione 3), una volta che si osserva che la norma di $1_{K}$ è 1 per 2).
La seconda richiesta segue facilmente una volta che si prova che la palla aperta di centro un qualsiasi punto interno a $B(x,r)$ è uguale alla palla aperta di centro $x$ e raggio $r$.

Per 1) l'ho fatto diverso. Per 2) quello che dici è esattamente quello che è richiesto dimostrare

Ma magari non si capiva, era un esercizio che proponevo, non che chiedevo come fare

[uomotorta]

"3m0o":[quote="uomotorta"]La prima richiesta segue abbastanza facilmente usando la condizione 3), una volta che si osserva che la norma di $1_{K}$ è 1 per 2).
La seconda richiesta segue facilmente una volta che si prova che la palla aperta di centro un qualsiasi punto interno a $B(x,r)$ è uguale alla palla aperta di centro $x$ e raggio $r$.

Per 1) l'ho fatto diverso. Per 2) quello che dici è esattamente quello che è richiesto dimostrare

Ma magari non si capiva, era un esercizio che proponevo, non che chiedevo come fare[/quote]

No no si capiva tranquillo ahaha... l'avevo sritto su un foglio. Non ho postato le foto perché non vorrei andare contro il regolamento del forum però.
Scriverlo in Tex al momento mi viene un po' complicato per questioni di tempo per questo ho messo quelle due brevi battute. Per curiosità, come hai provato la 1) ?

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Per 1)

Wlog \( \left \| x \right \| < \left \| y \right \| \), abbiamo dunque che \( \left \| x-y \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| y \right \| \} = \left \| y \right \| \). Per l'altra direzione
\( \left\| y \right\| = \left \| x- (x-y) \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| x- y \right \| \} = \left \| x - y \right \| \) poiché abbiamo supposto \( \left \| x \right \| < \left \| y \right \| \).

[uomotorta]

"3m0o":Per 1)

Wlog \( \left \| x \right \| < \left \| y \right \| \), abbiamo dunque che \( \left \| x-y \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| y \right \| \} = \left \| y \right \| \). Per l'altra direzione
\( \left\| y \right\| = \left \| x- (x-y) \right \| \leq \max \{ \left \| x \right \|, \left \| x- y \right \| \} = \left \| x - y \right \| \) poiché abbiamo supposto \( \left \| x \right \| < \left \| y \right \| \).

Ok, ma è il mio stesso ragionamento ahahaha... Infatti la norma di $-(x-y)$ è uguale alla norma di $x-y$ poiche la norma di $1_K$ è $1$ e di conseguenza la norma di $-1_K$ è esattamente $1$.