Determinare controimmagine di un vettore matrice e di uno spazio vettoriale

[adniandinaeifniqe]

Buona sera, qualche giorno fa mi sono imbattuto all'esame di algebra in un esercizio che sinceramente prima di allora non avevo mai visto da nessuna parte, e anche al momento non riesco a trovare da nessuna parte in rete o in un qualsiasi libro una soluzione, l'esercizio è il seguente:

In $M_2$($RR$), spazio vettoriale delle matrici quadrate reali di ordine 2, si consideri l'endomorfismo $f:$
$M_2$($RR$) $\to$ $M_2$($RR$) così definito $f$($((a,b),(c,d))$) =$((a,b-c),(0,d))$.
Si chiede:
a) Determinare la matrice associata a f rispetto alla base B= {$((1,0),(0,0))$,$((0,1),(0,0))$,$((0,0),(1,0))$,$((0,0),(0,1))$}
Almeno questo punto l'ho fatto, e tra i vari conti sono arrivato ad avere la matrice A= $((1,0,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$

ma poi mi viene chiesto di:
c) Determinare la controimmagine $f^-1$(z) del vettore z= $((2,1),(0,1))$ e la controimmagine $f^-1$(S) del sottospazio vettoriale S= {$((a,b),(c,d))$|a,b,d $in$ $RR$} delle matrici simmetriche di $M_2$($RR$). Stabiler se $f^-1$(z) e $f^-1$(S) sono dei sottospazi vettoriali del dominio.

per quanto riguarda il vettore z io più o meno l'ho provato a fare considerandolo come il vettore z= $((2,1,0,1))$ e poi risolvere il SEL dato dalla definizione della controimmagine:
$((1,0,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,0,0),(0,0,0,1))$ $*$ $((x),(y),(z),(w))$ = $((2),(1),(0),(1))$
e facendo qualche calcolo finisco con: $\{(x=1),(y=1+z),(0=0),(w=1):}$ e quindi voglio immaginare che la controimmagine sia il vettore (2,1+z,0,1) (??), per la seconda controimmagine non ho la minima idea di come fare, e della seconda richiesta so come vedere se un insieme è un sottospazio vettoriale, ma non una controimmagine, e cosa vuol dire esattamente "del codominio" ?
Grazie mille a chiunque voglia rispondermi e perdonatemi se è una domanda stupida, ma lo sono parecchio anche io.

[anonymous_0b37e9]

"APERITIVOOOO":
... la controimmagine del vettore ...

Bastava porre:

$[[a,b-c],[0,d]]=[[2,1],[0,1]] rarr f^(-1)(z)=[[2,t],[t-1,1]]=t[[0,1],[1,0]]+[[2,0],[-1,1]]$

(non è un sottospazio vettoriale).

"APERITIVOOOO":
... e la controimmagine del sottospazio vettoriale ...

Basta porre:

$[[a,b-c],[0,d]]=[[t_1,0],[0,t_3]] rarr f^(-1)(S)=[[t_1,t_2],[t_2,t_3]]=t_1[[1,0],[0,0]]+t_2[[0,1],[1,0]]+t_3[[0,0],[0,1]]$

(è un sottospazio vettoriale di dimensione 3).

[adniandinaeifniqe]

Grazie mille per la risposta, ma non riesco a capire che procedimenti hai fatto per arrivare a ciò, è perché non, oppure è un sottospazio ?

[anonymous_0b37e9]

Per quanto riguarda il punto a):

Modo 1

$[[1,0,0,0],[0,1,-1,0],[0,0,0,0],[0,0,0,1]][[x],[y],[z],[w]]=[[2],[1],[0],[1]] rarr \{(x=2),(y-z=1),(w=1):} rarr \{(x=2),(z=y-1),(w=1):} rarr [[x],[y],[z],[w]]=[[2],[t],[t-1],[1]]$

Modo 2

$[[a,b-c],[0,d]]=[[2,1],[0,1]] rarr \{(a=2),(b-c=1),(d=1):} rarr \{(a=2),(c=b-1),(d=1):} rarr [[a,b],[c,d]]=[[2,t],[t-1,1]]$

Insomma, pur essendo del tutto equivalenti, il secondo modo, non necessitando della matrice $4xx4$ che rappresenta l'endomorfismo, è solo più immediato. Del resto, visto che:

$[[a,b],[c,d]] rarr [[a,b-c],[0,d]]$

basta porre:

$[[a,b-c],[0,d]]=[[2,1],[0,1]]$

Inoltre, la controimmagine:

$[[2,t],[t-1,1]]$

non è un sottospazio vettoriale perché non comprende il vettore nullo. Per quanto riguarda il punto b), se proprio vuoi procedere seguendo il primo modo:

$[[1,0,0,0],[0,1,-1,0],[0,0,0,0],[0,0,0,1]][[x],[y],[z],[w]]=[[t_1],[t_2],[t_2],[t_3]] rarr \{(x=t_1),(y-z=t_2),(0=t_2),(w=t_3):} rarr \{(x=t_1),(z=y),(w=t_3):} rarr \{(x=t_1),(y=\alpha),(z=\alpha),(w=t_3):}$

Rinominando, per eleganza, il parametro libero $\alpha$:

$\alpha=t_2 rarr \{(x=t_1),(y=t_2),(z=t_2),(w=t_3):}$

[adniandinaeifniqe]

grazie mille, sei stato chiarissimo ❤️

[dissonance]

[ot]mi piace molto il tuo nick, di venerdí pomeriggio poi[/ot]