Esercizio su basi di sottospazi

[DriveKnight]

Salve, ho un dubbio sulla risoluzione di questo esercizio:

dato un sottospazio W di R^4 definito da

x+y+z+t = 0
x+2y+3z+4t = 0

a)Trovare Dimensione di W e W $ _|_ $
b) Base ortogonale di W
c) Base ortogonale di W $ _|_ $
d) Determinare coordinate del vettore canonico e1 nella base W $ uu $ W $ _|_ $

a) Dimensione W = 4-2= 2, facendo n incognite - m equazioni, lo stesso per W $ _|_ $

b)Base ortogonale di W ho trasformato la rappresentazione cartesiana in parametrica e ho trovare la base
$ ( ( 1 ),( 0 ),( -3 ),( 2 ) ) $ , $ ( ( 0 ),( 1 ),( -2 ),( 1 ) ) $


c) Per la base ortogonale W $ _|_ $ a W ho applicato l'algoritmo di ortogonalizzazione ma non ero sicuro dei risultati

d) Per questo punto metterei su sistema le componenti delle 2 basi e come termini noti le componenti del vettore canonico

$ ( ( x , 0 , z , t ),( 0 , y , z , t ),( -3x , -2y , z , t ),( 2x , y , z , t ) ) $ = $ ( ( 1 ),( 0 ),( 0 ),( 0 ) ) $

E' corretto così? Grazie e a presto

[Bokonon]

Non hai trovato una base ortogonale per W.
Non hai proprio trovato una base per lo spazio ortogonale a W.

[DriveKnight]

"Bokonon":Non hai trovato una base ortogonale per W.
Non hai proprio trovato una base per lo spazio ortogonale a W.

Bè rifacendo l'esercizio, ritorno sulla prima base che ho trovato

$ ( ( 2 ),( -3 ),( 0 ),( 1) ) ,( ( 1 ),( -2 ),( 1 ),( 0 ) ) $

gli applico l'algoritmo di ortogonalizzazione per trovare appunto una base ortogonale. Tengo buono il primo vettore e ho


$ ( ( 2 ),( -3 ),( 0 ),( 1) ) ,( ( -1/3),( -1 ),( 1 ),( -2/3 ) ) $


Da qui?

[Bokonon]

E adesso fai il prodotto scalare fra i due vettori e scopri che non da zero.
Quindi rifai i conti.