Parentesi di Lie e matrici
Ciao a tutti, dovrei dimostrare il seguente fatto:
Prese due matrici quadrate $M,N$ della stessa taglia $n$, si considerano i campi vettoriali $X,Y$ su $\mathbb{R}^n$ dati da: $X(v)=Mv$ e $Y(v)=Nv$ per ogni $v\in\mathbb{R}^n$.
Vorrei mostrare che $[X,Y](v)=(NM-MN)(v)$, dove $[*,*]$ indicano le parentesi di Lie di due campi vettoriali
Il mio ragionamento è il seguente: dalla definizione di parentesi di Lie ho che
$[X,Y](v)=(XY-YX)(v)=(XY)(v)-(YX)(v)=X(Y(v))-Y(X(v))=X(Nv)-Y(Mv)=MNv-NMv=(MN-NM)(v)$
ovvero ottengo l'opposto di ciò che mi serve.
In alternativa, ho pensato di fare questa cosa (ma non sono certo della sua correttezza):
Pongo $-M=M^t$ e $-N=N^t$ (dove $*^t$ indica la trasposizione), allora:
$[X,Y](v)=(MN-NM)v=(N^tM^t-M^tN^t)v=\left( (-N)(-M)-(-M)(-N)\right)v=(NM-MN)v$
Ovvero la tesi desiderata.
Secondo voi la seconda dimostrazione è corretta?
Prese due matrici quadrate $M,N$ della stessa taglia $n$, si considerano i campi vettoriali $X,Y$ su $\mathbb{R}^n$ dati da: $X(v)=Mv$ e $Y(v)=Nv$ per ogni $v\in\mathbb{R}^n$.
Vorrei mostrare che $[X,Y](v)=(NM-MN)(v)$, dove $[*,*]$ indicano le parentesi di Lie di due campi vettoriali
Il mio ragionamento è il seguente: dalla definizione di parentesi di Lie ho che
$[X,Y](v)=(XY-YX)(v)=(XY)(v)-(YX)(v)=X(Y(v))-Y(X(v))=X(Nv)-Y(Mv)=MNv-NMv=(MN-NM)(v)$
ovvero ottengo l'opposto di ciò che mi serve.
In alternativa, ho pensato di fare questa cosa (ma non sono certo della sua correttezza):
Pongo $-M=M^t$ e $-N=N^t$ (dove $*^t$ indica la trasposizione), allora:
$[X,Y](v)=(MN-NM)v=(N^tM^t-M^tN^t)v=\left( (-N)(-M)-(-M)(-N)\right)v=(NM-MN)v$
Ovvero la tesi desiderata.
Secondo voi la seconda dimostrazione è corretta?
Risposte
...ma perché la prima dimostrazione è errata? Casomai hai trascritto male il risultato!
E nella seconda "dimostrazione" stai considerando solo delle matrici anti-simmetriche: come mai?
E nella seconda "dimostrazione" stai considerando solo delle matrici anti-simmetriche: come mai?
"j18eos":
...ma perché la prima dimostrazione è errata? Casomai hai trascritto male il risultato!
In che senso ho trascritto male il risultato?
A me torna che $[X,Y]=MN-NM$, mentre l'esercizio mi chiede di provare che $[X,Y]=NM-MN$, quindi a me vengono con i segni sbagliati.
Nel caso, non capisco dove erro
Tu non hai sbagliato, è il testo dell'esercizio che contiene un errore! 
"j18eos":
Tu non hai sbagliato, è il testo dell'esercizio che contiene un errore!
Ah, ottimo! ahaha
Grazie mille allora!
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