Esercizio di geometria e algebra lineare

[amiii99]

ciao a tutti;
volevo sapere la risoluzione di questo esercizio
data la matrice A
\begin{pmatrix}
1 & 0 & 0 & 0 \\
0 & 2 & 0 & 1\\
0 & 0 & 0 & 0\\
0 & 2 & 2 & 1\\
\end{pmatrix}
appartenente M4(R) dire se esiste la matrice diagonale in M4 simile ad A.

vi chiedo già scusa in anticipo per come ho scritto il problema, ma sono nuova in questo forum
grazie mille in anticipo

[anonymous_0b37e9]

Poiché:

$det[[1-\lambda,0,0,0],[0,2-\lambda,0,1],[0,0,-\lambda,0],[0,2,2,1-\lambda]]=0 rarr$

$rarr (1-\lambda)[-\lambda(2-\lambda)(1-\lambda)+2\lambda]=0 rarr$

$rarr \lambda(1-\lambda)[-(2-\lambda)(1-\lambda)+2]=0 rarr$

$rarr \lambda(1-\lambda)(-\lambda^2+3\lambda)=0 rarr$

$rarr \lambda^2(1-\lambda)(3-\lambda)=0$

è necessario e sufficiente che l'autovalore:

$\lambda=0$

abbia molteplicità geometrica uguale a 2. A questo punto, non resta che determinare il rango della matrice sottostante:

$[[1,0,0,0],[0,2,0,1],[0,0,0,0],[0,2,2,1]]$

[amiii99]

Ciao grazie mille della risposta, calcolando il rango che viene pari a 3 ho la molteplicità geometrica pari ad 1, quindi non è diagonalizzabole, quindi non è simile giusto

[anonymous_0b37e9]

Giusto. Infatti:

$det[[1,0,0],[0,2,0],[0,2,2]] ne 0$