Chiarimento sulla dimostrazione del lemma dello scambio
Il professore ha dimostrato per induzione il seguente lemma:
Sia $V$ sp. vett. su $k$, $S$ sottoinsieme finito di $V$ t.c. $EEw_1,.....,w_rinSpan(S)$ vettori linearmente indipendenti $=> EE v_1,....,v_rinS$ vettori linearmente indipendenti.
Dimostazione: (Step 1) $w_1,...,w_r$ lin.ind. $=> w_1,...,w_(r-1)$ lin.ind. e $w_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1))
=> Span(w_1,...,w_(r-1))subSpan(S) => S$ non è un sottoinsieme di $Span(w_1,...,w_(r-1)) => EE v_rinS$ t.c.
$v_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1)) => w_1,...,w_(r-1),v_r$ sono lin.ind.
(Step 2) assumendo vero per $n-1 => n$ il procedimento è analogo allo step 1.
Quello che non mi è chiaro è quale sia la $P(n)$ sulla quale andiamo a fare l'induzione.
L'unica cosa che mi è venuta in mente è questa:
$P(n)= se EEw_1,...,w_rinSpan(S)$ lin.ind. $=> EEv_(r-n+1),...,v_rinS$ t.c. $w_1,...,w_(r-n),v_(r-n+1),...,v_r$ sono lin. ind.
Può essere giusto?
Sia $V$ sp. vett. su $k$, $S$ sottoinsieme finito di $V$ t.c. $EEw_1,.....,w_rinSpan(S)$ vettori linearmente indipendenti $=> EE v_1,....,v_rinS$ vettori linearmente indipendenti.
Dimostazione: (Step 1) $w_1,...,w_r$ lin.ind. $=> w_1,...,w_(r-1)$ lin.ind. e $w_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1))
=> Span(w_1,...,w_(r-1))subSpan(S) => S$ non è un sottoinsieme di $Span(w_1,...,w_(r-1)) => EE v_rinS$ t.c.
$v_r notinSpan(w_1,...,w_(r-1)) => w_1,...,w_(r-1),v_r$ sono lin.ind.
(Step 2) assumendo vero per $n-1 => n$ il procedimento è analogo allo step 1.
Quello che non mi è chiaro è quale sia la $P(n)$ sulla quale andiamo a fare l'induzione.
L'unica cosa che mi è venuta in mente è questa:
$P(n)= se EEw_1,...,w_rinSpan(S)$ lin.ind. $=> EEv_(r-n+1),...,v_rinS$ t.c. $w_1,...,w_(r-n),v_(r-n+1),...,v_r$ sono lin. ind.
Può essere giusto?
Risposte
Scusa, non ho capìto: \(S\) genera uno spazio vettoriale \(\mathbb{V}\); supponi che bastino \(r\) vettori linearmente indipendenti per generare \(\mathbb{V}\), giusto?
"j18eos":
Scusa, non ho capìto: \(S\) genera uno spazio vettoriale \(\mathbb{V}\); supponi che bastino \(r\) vettori linearmente indipendenti per generare \(\mathbb{V}\), giusto?
Scusami mi sono sbagliato; ora l'ho corretto.
Sostanzialmente afferma che se Span(S) contiene r vettori linearmente indipendenti allora anche S contiene r vettori linearmente indipendenti.
Non bastano queste ipotesi: devi assumere che \(Span(S)\) è generato da \(r\) vettori l.i.; altrimenti non puoi inferire che \(Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-1}\right)\subsetneqq Span(S)\).
Ti è chiaro il perché?
Ti è chiaro il perché?
"j18eos":
Non bastano queste ipotesi: devi assumere che \(Span(S)\) è generato da \(r\) vettori l.i.; altrimenti non puoi inferire che \(Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-1}\right)\subsetneqq Span(S)\).
Ti è chiaro il perché?
Aspetta intendi forse il fatto che $S$ non è un sottoinsieme di $Span(w_1,....,w(r-1))$ ?
Perchè nella dimostrazione non è inferito quello che hai scritto.
Sarò ancóra più esplicito: se tu non supponi che \(\displaystyle Span(S)=Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right)\) con tali vettori l.i., non puoi affermare che \(\displaystyle Span(S)\supsetneqq Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-1}\right)\).
"j18eos":
Sarò ancóra più esplcito: se tu non supponi che \(\displaystyle Span(S)=Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right)\) con tali vettori l.i., non puoi affermare che \(\displaystyle Span(S)\supsetneqq Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-1}\right)\).
Scusami ma nella dimostrazione $w_r notin Span(w_1,.....w_(r-1))$ e quindi per forza $Span(w_1,.....w_(r-1))$ è un sottoinsieme proprio di $Span(S)$ non serve supporre che $Span(w_1,.....w_r) = Span(S)$
Assolutamente no!
Nelle tue ipotesi potrebbe verificarsi che \(\displaystyle S=\mathbb{V}\) e che tale spazio vettoriale non sia finitamente generabile.
Esempio: considera lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali, questi è uno spazio vettoriale non finitamente generabile.
Se poi vogliamo escludere gli spazi vettoriali non finitamente generabili, secondo le tue notazioni: \(\displaystyle Span(S)\) possiede \(\displaystyle r\) vettori l.i., ma \(\displaystyle Span(S)\) potrebbe essere generato da \(\displaystyle r+1\) vettori l.i.
Esempio: \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}[x],S=\{1,x+1,x^2+1,x^3\},Span(1,x,x^2)\subsetneqq Span(S)\).
Nelle tue ipotesi potrebbe verificarsi che \(\displaystyle S=\mathbb{V}\) e che tale spazio vettoriale non sia finitamente generabile.
Esempio: considera lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali, questi è uno spazio vettoriale non finitamente generabile.
Se poi vogliamo escludere gli spazi vettoriali non finitamente generabili, secondo le tue notazioni: \(\displaystyle Span(S)\) possiede \(\displaystyle r\) vettori l.i., ma \(\displaystyle Span(S)\) potrebbe essere generato da \(\displaystyle r+1\) vettori l.i.
Esempio: \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}[x],S=\{1,x+1,x^2+1,x^3\},Span(1,x,x^2)\subsetneqq Span(S)\).
"j18eos":
Assolutamente no!
Nelle tue ipotesi potrebbe verificarsi che \(\displaystyle S=\mathbb{V}\) e che tale spazio vettoriale non sia finitamente generabile.
Esempio: considera lo spazio vettoriale dei polinomi a coefficienti reali, questi è uno spazio vettoriale non finitamente generabile.
Se poi vogliamo escludere gli spazi vettoriali non finitamente generabili, secondo le tue notazioni: \(\displaystyle Span(S)\) possiede \(\displaystyle r\) vettori l.i., ma \(\displaystyle Span(S)\) potrebbe essere generato da \(\displaystyle r+1\) vettori l.i.
Esempio: \(\displaystyle\mathbb{V}=\mathbb{R}[x],S=\{1,x+1,x^2+1,x^3\},Span(1,x,x^2)\subsetneqq Span(S)\).
Mi sono dimenticato di aggiungere che S è un sottoinsieme finito di V.
Ora dovrebbe andare.
Non mi è chiaro che c'entra il controesempio.
Prova a ripetere la tua dimostrazione col mio ultimo esempio...
"j18eos":
Prova a ripetere la tua dimostrazione col mio ultimo esempio...
Sia $V=R[x]$ sp. vett. su $R$, $S = {1, x+1,x^2+1, x^3}$ sottoinsieme finito di $V$ t.c. $EE1, x, x^2 inSpan(S)$ vettori linearmente indipendenti $=> EE v_1, v_2, v_3 inS$ vettori linearmente indipendenti.
Dimostazione: $1, x, x^2$ lin.ind. $=> 1, x$ lin.ind. e $ x^2 notinSpan(1, x) => Span(1, x)subSpan(1, x+1,x^2+1, x^3) => {1, x+1,x^2+1, x^3}$ non è un sottoinsieme di $Span(1, x) => EE v_3inS$ (prendiamo ad esempio $v_3=x^2+1$) t.c.
$x^2+1 notinSpan(1, x) => 1, x,x^2+1$ sono lin.ind.
Ripetendo il passaggio un'altra volta otteremo $1, x+1,x^2+1inS$ lin.ind.
Dovrebbe essere così.
Ma ho l'impressione che ci sia un incomprensione, forse non mi sono spiegato bene.
Ho ricontrollato anche sul testo di algebra lineare di Marco Manetti e lui non aggiunge che $Span(w_1,....,w_r) = Span(S)$
Aaaah: allora sì, c'è una mia incomprensione; ed ecco perché sto lontano dai testi didattici del prof. Manetti, ma non dai relativi articoli di ricerca. 
Give me time!
Give me time!
Da come enunziato questo lemma, già dalle ipotesi hai che
\[
Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right)\subseteq Span(S)
\]
e nulla puoi affermare tra le eventuali inclusioni tra gli insiemi (finiti) \(\displaystyle\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right\}\) ed \(S\).
Domanda: fin qui sei concorde con me?
Poi la dimostrazione prosegue come hai scritto, e ti chiedi quale sia la proprietà \(P(n)\) su cui ragioni, con \(n\in\{0,1,\dotsc,r\}\): ho capìto bene?
Se non ho visto male, questa dovrebbe essere la seguente:
\[
\exists\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n}\in Span(S),\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\in S\mid\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n},\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\right\}\,\text{è un sistema l.i. con}\,r\,\text{vettori.}
\]
\[
Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right)\subseteq Span(S)
\]
e nulla puoi affermare tra le eventuali inclusioni tra gli insiemi (finiti) \(\displaystyle\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right\}\) ed \(S\).
Domanda: fin qui sei concorde con me?
Poi la dimostrazione prosegue come hai scritto, e ti chiedi quale sia la proprietà \(P(n)\) su cui ragioni, con \(n\in\{0,1,\dotsc,r\}\): ho capìto bene?
Se non ho visto male, questa dovrebbe essere la seguente:
\[
\exists\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n}\in Span(S),\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\in S\mid\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n},\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\right\}\,\text{è un sistema l.i. con}\,r\,\text{vettori.}
\]
"j18eos":
Da come enunziato questo lemma, già dalle ipotesi hai che
\[
Span\left(\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right)\subseteq Span(S)
\]
e nulla puoi affermare tra le eventuali inclusioni tra gli insiemi (finiti) \(\displaystyle\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_r\right\}\) ed \(S\).
Domanda: fin qui sei concorde con me?
Poi la dimostrazione prosegue come hai scritto, e ti chiedi quale sia la proprietà \(P(n)\) su cui ragioni, con \(n\in\{0,1,\dotsc,r\}\): ho capìto bene?
Se non ho visto male, questa dovrebbe essere la seguente:
\[
\exists\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n}\in Span(S),\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\in S\mid\left\{\underline{w}_1,\dotsc,\underline{w}_{r-n},\underline{v}_{r-n+1},\dotsc,\underline{v}_r\right\}\,\text{è un sistema l.i. con}\,r\,\text{vettori.}
\]
Si fin qui sono d'accordo.
La P(n) che avevo ipotizzato è questa: $P(n)= se EEw_1,...,w_rinSpan(S)$ lin.ind. $=> EEv_(r-n+1),...,v_rinS$ t.c. $w_1,...,w_(r-n),v_(r-n+1),...,v_r$ sono lin. ind.
No, perché al passo \(n\)-simo già hai un sistema di vettori l.i. diverso da quello da cui eri partito...
"j18eos":
No, perché al passo \(n\)-simo già hai un sistema di vettori l.i. diverso da quello da cui eri partito...
Hai ragione.
Forse quest'altra può andare?
per $n in {0,....., r-1}$ $P(n)=EE w_1,....., w_(r-n)inSpan(S)$ e $EEv_(r-n+1),....,v_rinS$ t.c. ${w_1,....., w_(r-n),v_(r-n+1),....,v_r}$ é un sistema di r vettori lin. ind. $=> EEv_(r-n)$ t.c $ {w_1,....,w_(r-n-1), v_(r-n),....,v_r}$ é un sistema di r vettori lin. ind.
Questa più che altro è ciò che dimostri; cioè tu devi dimostrare che al verificarsi di \(P(n)\) si verifica \(P(n-1)\), quindi ti basta definire \(P(n)\) senza l'implicazione che hai scritto.
Mi sono spiegato?
Mi sono spiegato?
"j18eos":
Questa più che altro è ciò che dimostri; cioè tu devi dimostrare che al verificarsi di \(P(n)\) si verifica \(P(n-1)\), quindi ti basta definire \(P(n)\) senza l'implicazione che hai scritto.
Mi sono spiegato?
Ok. Ti ringrazio.
Quindi da un punto di vista schematico se prendo la P(n) come tu prima l'hai definita ciò che si fa sono i seguenti passaggi:
1) le ipotesi $=> P(0)$
2) $ P(n) => P(n+1)$
Giusto ?
1) le ipotesi $=> P(0)$
2) $ P(n) => P(n+1)$
Giusto ?
Sì, ricordandoci che \(n\) varia in un insieme finito! 
Ok. ti ringrazio per il tempo dedicatomi. 
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