Esercizio di geometria e algebra lineare

[amiii99]

Ciao a tutti ho un piccolo dubbio su un punto di un esercizio.
data la matrice
\begin{pmatrix}
0 & -1 & 1 & 0 \\
1 & 2 & 0 & k\\
2 & 2 & 2 & 2\\
\end{pmatrix}
nelle primi 2 punti mi chiede di calcolare base e dimensione , e fin qui nessun problema.
come ultimo punto chiede : si dica per quali valori di k∈ R esiste un vettore v∈ R^4 tale che Tk(v)=(1,1,0)
grazie mille in anticipo

[Bokonon]

Risolvi il sistema

[amiii99]

Intendi dire che metto a sistema la matrice ponendo i vincoli uguali a Tk?

[Bokonon]

Non hai mai risolto un sistema non omogeneo?

[amiii99]

certo... volevo solo spere come veniva risolto l'ultimo punto dell' esercizio

[Studente Anonimo]

Il sistema non omogeneo suggerito da Bokonon è quello sottostante:

$[[0,-1,1,0],[1,2,0,k],[2,2,2,2]][[x_1],[x_2],[x_3],[x_4]]=[[1],[1],[0]]$

Volendo, puoi limitarti a discutere il rango della matrice incompleta:

$[[0,-1,1,0],[1,2,0,k],[2,2,2,2]]$

e il rango della matrice completa:

$[[0,-1,1,0,1],[1,2,0,k,1],[2,2,2,2,0]]$

al variare di k. Inoltre, il problema ammette soluzione se e solo se le due matrici hanno lo stesso rango.