Equivalenza della definizone di sottospazio vettoriale

[Yuyu_13]

Buongiorno.

Voglio provare a vedere che le due definizione che vi riporto risultano equivalenti.

Definizione 1
$W subseteq V$ tale che $W != emptyset$
$W$ sottospazio vettoriale di $V$ $<=>^mbox(def)$ stabile rispetto alle legge indotte di $V$ di somma e prodotto per uno scalare.

Definizione 2
$W subseteq V$
$W$ sottospazio vettoriale di $V$ $<=>^mbox(def)$ stabile rispetto alle legge indotte di $V$ di somma e prodotto per uno scalare e $O_VinW$

Per verificare che risultino equivalenti devo provare una doppia implicazione.
L'implicazione Definizione 2 $to$ Definizione 1 è banale.
L'implicazione Definizione 1 $to$ Definizione 2 devo far vedere che $O_V in W$.
$W$ è stabile per il prodotto, prendo $u in W$ $h=0 in K$, quindi $hu=0u in W$.
Mi chiedo ma necessariamente si deve avere che $0u=O_V$ ? se si ho finito, altrimenti no.
Vi chiedo questo, perché ricordo vagamente che non sempre gli elementi neutri di partenza vengono ereditati da una sua sottostruttura.

Ciao

[otta96]

In questo caso si perchè $0u=(0+0)u=0u+0u=>0u=O_V$.
Un altro modo era $O_V=u-u\inW$.

[Yuyu_13]

"otta96":In questo caso si perchè $0u=(0+0)u=0u+0u=>0u=O_V$.

Giusto per vedere se ho capito, abbiamo la tesi, perché $0u=0u+O_V$ quindi, $0u+0u=0u+O_V$ cancellabilità $=>0u=O_V$

[otta96]

No, la cancellabilità la applichi a $0u=0u+0u$.

[Yuyu_13]

Grazie.