Separare spazio di Hilbert in spazi prodotto tensore

[Dal2]

Ciao ragazzi, spero di essere nella sezione giusta. Vorrei porvi il seguente quesito fisico/matematico: dato uno spazio di Hilbert $ \mathcal{H} $ e un hamiltoniana $ H=sum_(i = 1)^n H_i $ (o un qualsiasi operatore autoaggiunto) che si può scrivere come somma di N operatori $ H_i $ che commutano tra loro, è vero che si può fattorizzare lo spazio di Hilbert come spazio prodotto tensore $ \mathcal{H}= ox_(i=1)^n \mathcal{H}_i$ (dove ciascuno spazio del prodotto è costruito a partire dagli autostati di $H_i$) ? Sono un po' vago e impreciso perché non saprei da dove partire per rispondere, credo abbia qualcosa a che fare con la teoria delle rappresentazioni ma non ne sono certo (conosco solo quella relativa a spazi di rappresentazione di dimensione finita, non spazi di Hilbert).

[j18eos]

CIa0,

non è che vuoi provare a dimostrare che \(\displaystyle\mathcal{H}\) si decompone in una somma diretta di sottospazi?

[Dal2]

No intendo proprio come prodotto tensore. Che $ \mathcal{H} $ si scompone in somma diretta degli autospazi di un operatore autoaggiunto mi è chiaro, il mio dubbio riguarda invece proprio i sistemi composti in meccanica quantistica, che richiedono la struttura di prodotto tensore. Cioè io so che, dato uno spazio di Hilbert di un sistema composto, questo si ottiene come prodotto tensore dello spazio dei singoli sistemi (anche se questo riguarda più che altro la costruzione della teoria quantistica più della matematica che c'è dietro); poi solitamente ci ritroviamo in casi in cui gli operatori $ H_i $ agiscono solo su uno degli spazi prodotto $ \mathcal{H_i} $ (cioè sarebbero operatori fatti come $\mathbb{1}ox ... H_i ox \mathbb{1} ...$) e gli autostati di $ H $ si scrivono come prodotto tensore dei singoli autostati delle Hamiltoniane $H_i$. La mia questione è invece il viceversa, cioè ho a disposizione un hamiltoniana $ H=sum_(i =1)^n H_i $ su uno spazio di Hilbert generico $ \mathcal{H} $, che non so essere uno spazio prodotto tensore, con $ H_i $ commutanti tra loro, e vorrei sapere se/in che condizioni $ \mathcal{H} $ sia isomorfo/si possa fattorizzare come spazio prodotto tensore $ ox_(i=1)^n \mathcal{H_i} $, in modo anche che ciascun $ H_i $ agisca sul corrispettivo $ \mathcal{H_i} $. Ho trovato qualcosa online riguardo a quelle che vengono chiamate "Tensor product structure" (TPS, https://arxiv.org/pdf/1702.06142.pdf), ma vorrei avere un parare da qualcuno perché non sono esperto in ambito né so se risolvono il mio problema/cosa mi serva per comprendere l'argomento.

[dissonance]

Potrebbe volerci qualche altra ipotesi di ortogonalità tra \(H_1\) e \(H_2\). In sostanza, stai chiedendo se, data una matrice simmetrica \(H=H_1+H_2\), dove \([H_1, H_2]=0\), è possibile trovare una base ortonormale tale che
\[H\equiv \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}, \]
dove \(A_1, A_2\) sono matrici diagonali contenenti gli autovalori di \(H_1, H_2\) rispettivamente (ed \(\equiv\) denota la congruenza di matrici).

[megas_archon]

"dissonance":Potrebbe volerci qualche altra ipotesi di ortogonalità tra \(H_1\) e \(H_2\). In sostanza, stai chiedendo se, data una matrice simmetrica \(H=H_1+H_2\), dove \([H_1, H_2]=0\), è possibile trovare una base ortonormale tale che
\[H\equiv \begin{bmatrix} A_1 & 0 \\ 0 & A_2 \end{bmatrix}, \]
dove \(A_1, A_2\) sono matrici diagonali contenenti gli autovalori di \(H_1, H_2\) rispettivamente (ed \(\equiv\) denota la congruenza di matrici).

Questo non è possibile in generale, perché le dimensioni dello spazio dove $H$ è definito non matchano.

Questo è lo statement generale: dato un operatore lineare \(H : V\to V\), trovare una decomposizione \(V\cong \bigotimes_{i\in I}V_i\) e una decomposizione \(H = \sum H_i\), dove \(H_i : V\to V\) è definito come il prodotto di Kronecker delle applicazioni lineari identiche in tutti gli indici diversi da $i$, e come una certa mappa lineare $h_i : V_i\to V_i$ nella componente $i$.

Questa è una proprietà molto forte per $H$, che quindi è fatta di pezzi tra loro "non interagenti" (al contrario, ad esempio, lo swap \(T : V\otimes W\to W\otimes V : x\otimes y\mapsto y\otimes x\) è indecomponibile in quel senso).

Nel caso in cui la decomposizione sia fatta di "due pezzi", quindi, cerchi quanto segue: dato $H : V\to V$ una decomposizione di $V$ come \(V_1\otimes V_2\) e una decomposizione di $H$ come \(h_1\otimes 1 + 1\otimes h_2\), per certe mappe lineari $h_i : V_1\to V_i$. (Nel caso in cui $I$ sia un insieme infinito serve anche un'ipotesi a ché \(\sum H_i\) sia convergente, ma transeat).

Ora, è facile trovare che questa condizione è una condizione sugli spettri delle $h_i$, perché quali sono gli autovalori del prodotto di Kronecker \(f\otimes g\) in termini degli autovalori di \(f,g\) separatamente?

[Dal2]

Si esatto cercavo qualcosa del genere, però sapendo che $ H $ è somma di operatori autoaggiunti commutanti. Mi ricorda la situazione in cui viene definita la rappresentazione prodotto di un'algebra di Lie, anche se non so bene come collegare il problema della rappresentazione prodotto con la struttura della meccanica quantistica: se volessi applicare la teoria delle rappresentazioni dovrei pensare ad $ H $ come una rappresentazione per scomporla poi in prodotti? Ma esattamente rappresentazione di quale algebra? Dovrei pensare agli operatori sullo spazio di hilbert come ad un'algebra di Lie con parentesi di Lie data dal commutatore?
Comunque la risposta a quello che chiedi penso sia il prodotto degli spettri di $ f $ e $ g $. Se effettivamente fosse possibile scomporre $ H=h_1ox1+1oxh_2 $ mi verrebbe da dire che lo spettro di $ H $ sia la somma degli spettri di $ h_1 $ e $ h_2 $, però questo mi darebbe una condizione necessaria... In particolare vorrei sapere se, sapendo che $ H=h_1+h_2 $ con $ [h_1,h_2]=0 $, è possibile scomporre $ \mathcal{H}\rightarrow \mathcal{H_1}ox\mathcal{H_2}$ in modo da far agire $ H $ su questo nuovo spazio come $ H=h_1ox1+1oxh_2 $.