Connessione Affine con torsione
Ciao,
un chiarimento sulla nozione di torsione di una connessione affine.
Consideriamo una varieta' differenziabile (manifold) sulla quale e' definita una connessione affine con torsione.
Da quanto ho capito nel caso di connessione senza torsione partendo da un punto qualsiasi P gli spostamenti geodetici commutano. In altre parole si ha quanto segue:
Prendiamo 2 vettori $V$ e $W$ definiti nello spazio tangente al punto P e consideriamo i seguenti spostamenti geodetici a partire da P.
A) spostamento geodetico a partire da P lungo la geodetica associata al vettore $V$ per un valore $\Delta t$ del suo parametro $t$. Dal punto di arrivo Q spostamento geodetico lungo la geodetica associata al vettore ottenuto per trasporto parallelo di $W$ lungo la prima geodetica da P a Q per un valore $\Delta s$ del suo parametro $s$.
B) spostamento geodetico a partire da P lungo la geodetica associata al vettore $W$ per un valore $\Delta s$ del suo parametro $s$. Dal punto di arrivo Z spostamento geodetico lungo la geodetica associata al vettore ottenuto per trasporto parallelo di $V$ lungo la prima geodetica da P a Z per un valore $\Delta t$ del suo parametro $t$.
Nel caso di connessione senza torsione i punti di arrivo finali nei 2 casi coincidono, diversamente nel caso di connessione con torsione non nulla.
E' corretto ? Grazie.
un chiarimento sulla nozione di torsione di una connessione affine.
Consideriamo una varieta' differenziabile (manifold) sulla quale e' definita una connessione affine con torsione.
Da quanto ho capito nel caso di connessione senza torsione partendo da un punto qualsiasi P gli spostamenti geodetici commutano. In altre parole si ha quanto segue:
Prendiamo 2 vettori $V$ e $W$ definiti nello spazio tangente al punto P e consideriamo i seguenti spostamenti geodetici a partire da P.
A) spostamento geodetico a partire da P lungo la geodetica associata al vettore $V$ per un valore $\Delta t$ del suo parametro $t$. Dal punto di arrivo Q spostamento geodetico lungo la geodetica associata al vettore ottenuto per trasporto parallelo di $W$ lungo la prima geodetica da P a Q per un valore $\Delta s$ del suo parametro $s$.
B) spostamento geodetico a partire da P lungo la geodetica associata al vettore $W$ per un valore $\Delta s$ del suo parametro $s$. Dal punto di arrivo Z spostamento geodetico lungo la geodetica associata al vettore ottenuto per trasporto parallelo di $V$ lungo la prima geodetica da P a Z per un valore $\Delta t$ del suo parametro $t$.
Nel caso di connessione senza torsione i punti di arrivo finali nei 2 casi coincidono, diversamente nel caso di connessione con torsione non nulla.
E' corretto ? Grazie.
Risposte
"cianfa72":
Nel caso di connessione senza torsione i punti di arrivo finali nei 2 casi coincidono, diversamente nel caso di connessione con torsione non nulla.
Mi sono accorto che forse quanto scrivevo nel post precedente in realta' vale solo localmente ovvero per spostamenti geodetici infinitesimi a partire da un punto P. Non sono sicuro si possa estendere a regione finite in generale.
E' corretto ? Grazie.
CIa0, scusa il ritardo, volevo risponderti in giornata, ma...
Vado molto a memoria: puoi definire localmente le geodetiche attorno ad ogni punto di una manifold, ma non è detto che queste siano definite globalmente.
Domani cercherò di recuperare i miei appunti di geometria differenziale, e vedrò di completare la risposta.
Vado molto a memoria: puoi definire localmente le geodetiche attorno ad ogni punto di una manifold, ma non è detto che queste siano definite globalmente.
Domani cercherò di recuperare i miei appunti di geometria differenziale, e vedrò di completare la risposta.
"j18eos":
puoi definire localmente le geodetiche attorno ad ogni punto di una manifold, ma non è detto che queste siano definite globalmente.
Si certo, la possibilità di estendere indefinitamente le geodetiche a partire da un punto arbitrario sulla manifold e' il concetto di completezza geodetica.
La mia in realta' era una domanda diversa. Grazie.
"cianfa72":
Nel caso di connessione senza torsione i punti di arrivo finali nei 2 casi coincidono, diversamente nel caso di connessione con torsione non nulla.
E' corretto ? Grazie.
Localmente questo è sicuramente corretto (mi ricordo che è spiegato bene sul libro di relatività di Wald). Non so se sia una cosa globale. Forse no. Mi sorprenderebbe
"dissonance":
Localmente questo è sicuramente corretto (mi ricordo che è spiegato bene sul libro di relatività di Wald).
Se ti riferisci al par 3.2 del Wald, in realta' mi sembra diverso. In quel paragrafo si parla del trasporto parallelo di un vettore lungo un loop facendo vedere che la differenza tra i vettori prima e dopo il trasporto parallelo dipende dal tensore di curvatura di Riemann.
Nel mio caso parlo invece di spostamenti lungo geodetiche a partire dai vertici del quadrilatero in direzioni ottenute attraverso il trasporto parallelo dei 2 vettori scelti nel punto di partenza P.
Eccomi qua, sempre più in ritardo...
Allora, sperando di "fare centro": la risposta è sì!
Per una dimostrazione, ti rimando a questa risposta su MathStackExchange, vedi il punto (ii).
Allora, sperando di "fare centro": la risposta è sì!
Per una dimostrazione, ti rimando a questa risposta su MathStackExchange, vedi il punto (ii).
"j18eos":
Allora, sperando di "fare centro": la risposta è sì!
Per una dimostrazione, ti rimando a questa risposta su MathStackExchange, vedi il punto (ii).
La risposta e' si, immagino, nel senso che il parallelogramma si richiude solo su scala locale quando la torsione e' nulla. In una delle risposte a quel link in particolare viene usata la 'exponential map' per la costruzione di geodetiche di lunghezza finita. Il parallelogramma si richiude al secondo ordine se e solo se la torsione e' nulla.
Torna? Grazie.
"j18eos":
questa risposta su MathStackExchange, vedi il punto (ii).
Bella!
se ti riferisci al par 3.2 del Wald
Hai ragione, stavo citando a memoria ed è sempre molto facile fare errori. Chissà dove avevo visto la spiegazione che avevo in mente, ma comunque il link trovato da j18eos è ottimo. In ogni caso il concetto fondamentale resta valido: l'annullamento della torsione implica che i parallelogrammi si chiudono *al secondo ordine*, localmente. Non globalmente. È molto difficile ottenere proprietà globali da proprietà locali, e l'annullamento della torsione è un fatto locale.
"dissonance":Dipende!
[...] È molto difficile ottenere proprietà globali da proprietà locali, e l'annullamento della torsione è un fatto locale.
Esempio scemo: una funzione localmente continua in ogni punto (di uno spazio topologico) è globalmente continua.
Esempi seri
[list=I]
[*:1wli8yea]Un omeomorfismo locale di spazi topologici può non essere un omeomorfismo globale.[/*:m:1wli8yea]
[*:1wli8yea]Una forma differenziale localmente esatta su una superficie liscia semplicemente connessa è globalmente esatta.[/*:m:1wli8yea][/list:o:1wli8yea]
Rimanendo nel caso della torsione di una connessione su una manifold: questa fornisce informazioni locali, dato che la si utilizza con le geodetiche della connessione data, e (come richiamato da cianfa72) le geodetiche esistono solo localmente: nulla si può dire globalmente (come affermato da dissonance)!
"j18eos":
Rimanendo nel caso della torsione di una connessione su una manifold: questa fornisce informazioni locali, dato che la si utilizza con le geodetiche della connessione data, e (come richiamato da cianfa72) le geodetiche esistono solo localmente: nulla si può dire globalmente (come affermato da dissonance)!
Comunque, come dicevo, uno dei link in particolare by Robert Bryant nel Remark 2 sembra esplicito sulla questione che chiedevo da un punto di vista di spostamenti geodetici di entita' finita (e non infinitesima).
Tra l'altro: la nozione di Affine manifold di fatto e' piu' o meno la stessa di Affine space ? Grazie.
"cianfa72":Non mi sembra; caso mai, come le manifolds generalizzano (in geometria differenziale) gli spazi \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), così anche le affine manifolds generalizzano (in geometria differenziale) gli spazi affini reali.
[...] la nozione di Affine manifold di fatto e' piu' o meno la stessa di Affine space ? Grazie.
"j18eos":
caso mai, come le manifolds generalizzano (in geometria differenziale) gli spazi \(\displaystyle\mathbb{R}^n\), così anche le affine manifolds generalizzano (in geometria differenziale) gli spazi affini reali.
ok, quindi nel caso delle affine manifolds non esiste solo un atlante differenziabile (che ne definisce appunto la struttura differenziabile) ma e' richiesto che le funzioni di transizione siano (a coppie) trasformazioni affini.
Sì, esatto!
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