Polinomio caratteristico

[Bohnonlosooos]

Ciao, ho un dubbio sui polinomi caratteristici delle matrici.

Se ho la matrice $ A - \lambda * I $, posso dire che la molteplicità algebrica di $ 0 $ è uguale alla molteplicità algebrica di $\lambda$ in $ A $?

Se si, in che modo si può dimostrare?

Grazie.

[j18eos]

Buon dì: ma \(0\) lo vedi come autovalore di quale matrice?

[Bohnonlosooos]

"j18eos":Buon dì: ma \(0\) lo vedi come autovalore di quale matrice?

Buongiorno, forse mi sono espresso male.

Intendo, supponiamo di avere una matrice $ A $ e di volerne calcolare il polinomio caratteristico.

Supponiamo ora che l'autovalore $\lambda$ abbia molteplicità algebrica $ m $, possiamo da qui concludere che l'autovalore $ 0 $ ha molteplicità $ m $ nel polinomio caratteristico della matrice $(A - \lambda*I)$?

[j18eos]

Sì, è una delle definizioni equivalente di molteplicità algebrica di un autovalore!

[Bohnonlosooos]

"j18eos":Sì, è una delle definizioni equivalente di molteplicità algebrica di un autovalore!

A me è evidente il fatto che calcolando i due polinomi caratteristici si abbia che se $ \lambda $ è autovalore di $ A $ allora $ 0 $ è autovalore di $(A - \lambda*I) $, quello che non riesco a capire è come si dimostra che le due molteplicità coincidono. Probabilmente è elementare, ma mi sfugge.

[hydro1]

La molteplicità algebrica di $\lambda$ come autovalore di $A$ è l'esponente di $(x-\lambda)$ nella fattorizzazione del polinomio caratteristico di $A$. Similmente per $0$ rispetto ad $A-\lambda I$. Il polinomio caratteristico di $A-\lambda I$ è $\det (A-(\lambda +x)I)$, che se ci pensi un secondo è il polinomio caratteristico di $A$ valutato in $x+\lambda$. Adesso usa di nuovo la definizione di molteplicità algebrica, e vedrai che tutto torna.

[Bohnonlosooos]

"keineahnung":[quote="j18eos"]Sì, è una delle definizioni equivalente di molteplicità algebrica di un autovalore!

A me è evidente il fatto che calcolando i due polinomi caratteristici si abbia che se $ \lambda $ è autovalore di $ A $ allora $ 0 $ è autovalore di $(A - \lambda*I) $, quello che non riesco a capire è come si dimostra che le due molteplicità coincidono. Probabilmente è elementare, ma mi sfugge.[/quote]

Grazie mille.