Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Un'esercizio per chi è alla prime armi con gli spazi quozienti e la compattezza. : )
Siano \(\displaystyle X\) uno spazio topologico e \(\displaystyle\sim\) una relazione di equivalenza su(l sostegno di) \(\displaystyle X\), indicati con \(\displaystyle\widetilde{X}\) (il sostegno del)lo spazio topologico quoziente di \(\displaystyle X\) mediante \(\displaystyle\sim\) e \(\displaystyle\pi\) la proiezione canonica di \(\displaystyle X\) su \(\displaystyle\widetilde{X}\), si supponga ...
ciao a tutti!
Vorrei risolvere un dubbio e spero in un vostro aiuto.. Ho trovato un esercizio che mi da' una matrice A parametrica, trovati autovalori e autovettori dipendenti dal parametro in questione, mi si chiede per quali valori dello stesso parametro esiste una base ortonormale di autovettori.
Avevo pensato di trovare gli autovettori e attraverso Gramm-Smith far diventare la base una base ortonormale... Ma intanto non sono affatto sicura e poi non so come trovare comunque il valore del ...
Salve a tutti ho bisogno di un aiuto per questo esercizio .
Sia
\( \ L_k:\Re^3\rightarrow \Re^3\) la trasformazione lineare tale che:
\( \ L_k(\underline{e}_1) \)=\(\underline{e'}_2\)
\( \ L_k(\underline{e}_2) \)=\(\underline{e'}_2-k\underline{e'}_3\)
\( \ L_k(\underline{e}_3) \)=\(\underline{e'}_1-k\underline{e'}_2\)
1)dire per quali valori del parametro k è invertibile e determinare l'inversa
2)Al variare di K appartenente ad R tutte le \( \underline{u} \) appartenenti ...
\( \displaystyle \circ \)Salve ragazzi,
domani ho un esame e ho questo dubbio che mi logora!
Non sono sicuro dello svolgimento di questo esercizio:
In R3 (dotato del prodotto scalare usuale) si consideri il vettore v = (2,-1,3). Si calcoli < v >\(\displaystyle \bot \) e se ne determini una base ortonormale.
Io per determinare < v >\(\displaystyle \bot \), ho cosiderato tutti i vettore generici (x,y,z) tali da rispettare la relazione (x,y,z) \(\displaystyle \circ \) (2,-1,3) = 0. (con il ...
Ciao a tutti!
Ho un esercizio da fare, ma non sono sicura se ho finito oppure ancora mi mancano situzioni da studiare.
Devo decidere se lo spazio $([-1,1], \tau )$ dove $\tau =\{U \in [-1,1]: 0 \notin Uo (-1,1) \subset U\}$ è normale.
Per definizione, uno spazio è normale se $\forall A, B$ chiuse dove $A\cap B=\emptyset$, $\exists U,V$ aperti dove $U\cap V=\emptyset$ talI che $A\subset U$ e $B\subset V$
Io ho fatto cosí (se $(a,b) \subset U e\ 0 \in (a,b)$)
-$A=X, B=\emptyset$, $U=X,V=\emptyset$
-$A=\{\pm1\},B=\emptyset$, ...
Ciao, amici! Hilbert, nel paragrafo 19, teorema 47, dei Fondamenti della Geometria, dice che, usando il fatto che triangoli con basi ed altezze congruenti sono equiampliabili, la transitività della relazione di equiampliabilità e il teorema 42, cioè quello di Talete, si dimostra che un triangolo qualunque è equiampliabile con un triangolo rettangolo che abbia un cateto congruente ad un segmento precedentemente fissato come segmento unitario.
Nonostante ci abbia perso la giornata (e mezza ...
Sul mio libro c'è scritto che, dati due vettori $u,v in R^3$ e un piano $prod_(P_0;u,v)$ passante per $P_0$ e generato da $u,v$, il vettore $u$ è ortogonale al piano $prod_(P_0;u,v)$, ovvero $u_|_ prod_(P_0;u,v)$.
Come faccio a verificarlo? In generale, quali sono i metodi per verificare che un vettore è ortogonale a un piano?
Intuitivamente, però, mi sembra falso.
Ho il piano $\pi:x+2y-z=1$ e il punto $A=(1,2,-1)$
Mi viene chiesto di trovare l'equazione cartesiana del piano parallelo $\sigma$ passante per A e la distanza.
Io il piano parallelo l'ho trovato così:
parallelo, quindi stessa direzione, quindi scrivo il versore $\hatn=\hati+2\hatj+\hatk=>\sigma:x+2y-z=d$
Ora impongo il passaggio per A quindi $d=1+4+1=6$ di conseguenza $\sigma:x+2y-z=6$
A questo punto per la distanza, io trovo il punto sul piano $\pi$ e lo impongo in ...
Il volume euclideo di tre vettori in $R^3$ è: $Vol(a,b,c)=|<a xx b,c>|$ , dove $xx$ indica il prodotto vettoriale e $<,>$ il prodotto scalare.
Ora, se $a,b,c$ sono ortogonali due a due, il volume è $Vol(a,b,c)=|<a xx b,c>|=|a xx b| |c|=|a| |b| |c|$.
Qualcuno mi spiega come ricavare le ultime due uguaglianze?
Buondì.
Devo dimostrare che un insieme del tipo \(W = \left \{ (x,y) \in \mathbb{R}^2 | x^2 + y^2 = r^2 \right \}\) non è un sottospazio vettoriale.
Ho pensato di fare così: supponiamo che $W$ sia un sottospazio vettoriale di \( \mathbb{R}^2(\mathbb{R}) \). Allora \( \forall \lambda \in \mathbb{R} \) si ha che \( \lambda(x,y) = (\lambda x, \lambda y) \in W \), ma ciò implica che \( \lambda^2(x^2 + y^2) = r^2 \Rightarrow \lambda^2r^2 = r^2 \Rightarrow \lambda = \pm 1\), ...
Data una varieta' lineare ad esempio:
$ v + U = (1,0,0) + <(0,1,1)>$
voglio verificare se e' un sottospazio di $R^3$, quindi condizione sufficiente e necessaria e' che contenga il vettore nullo.
Per verificare cio' e' corretto procedere in questo modo:
$ 0v in v+U hArr (0,0,0) = (1,0,0) + a(0,1,1)$
$(0,0,0) = (1,a,a)$
Quindi non e' un sottospazio di $R^3$
Ho una matrice dipendente da $h\inR$ definita come $A=((h,0,1),(1,h,0),(0,1,h))$ e devo calcolargli il rango.
Calcolo il determinante della matrice e vedo che $|A|=h^3+1$ che si annulla per ogni h tale che $h^3=-$ quindi il rango è compreso tra 0 e 3 (?)
con kroneker cerco un minore di ordine 2 con determinante non nullo.
Prendo quindi
$\delta=|(1,h),(0,1)|=1!=0$ quindi orlo: $\Delta=|(h,1,0),(1,h,0),(0,1,h)|=h(h^2-1)$ quindi $h=0,h^2=1 =>h=+-1$
Come procedo ora?
Voglio dimostrare che dati tre vettori $u,v,w in R^3$, il determinante cambia di segno se si scambiano $u$ e $v$ o $u$ e $w$.
Provo, ad esempio, a dimostrare che $det(u,v,w)=-det(v,u,w)$:
$det(u,v,w)=| ( u_1 , v_1 , w_1 ),( u_2 , v_2 , w_2 ),( u_3 , v_3 , w_3 ) | = u_1 | ( v_2 , w_2 ),( v_3 , w_3 ) | + u_2 | ( v_1 , w_1 ),( v_3 , w_3 ) | + u_3 | ( v_1 , w_1 ),( v_2 , w_2 ) | =$
$= u_1 (v_2 w_3 - w_2 v_3) + u_2 (v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3 (v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
$det(v,u,w)=| ( v_1 , u_1 , w_1 ),( v_2 , u_2 , w_2 ),( v_3 , u_3 , w_3 ) | = v_1 | ( u_2 , w_2 ),( u_3 , w_3 ) | + v_2 | ( u_1 , w_1 ),( u_3 , w_3 ) | + v_3 | ( u_1 , w_1 ),( u_2 , w_2 ) | =$
$= v_1 (u_2 w_3 - w_2 u_3) + v_2 (u_1 w_3 - w_1 u_3) + v_3 (u_1 w_2 - w_1 u_2)=$
$= v_1 u_2 w_3 - v_1 w_2 u_3 + v_2 u_1 w_3 - v_2 w_1 u_3 + v_3 u_1 w_2 - v_3 w_1 u_2=$
$= u_1(v_2 w_3+w_2 v_3) + u_2(v_1 w_3 - w_1 v_3) + u_3(-v_1 w_2 - w_1 v_2)$.
Dove sbaglio?
Dati due vettori $a,b in R^2 $, volevo dimostrare che se $a^^c=b^^c=>a=b$.
Allora: $a^^c=b^^c=>a_1 c_2-c_1 a_2=b_1 c_2-c_1 b_2=>a_1 c_2-c_1 a_2-b_1 c_2+c_1 b_2=0=>$
$=>c_1(b_2-a_2)+c_2(a_1-b_1)=0$ (1)
Ora, una possibile soluzione è che ${ ( b_2=a_2 ),( a_1=b_1 ):} => a=b$
Ma se, ad esempio: $a=( (2), (0) )$, $b=( (0), (4) )$, $c=( (-1), (2) )$, $a!=b$ nonostante soddisfi la (1).
Ciao a tutti. Mi vergogno a dirlo ma è da questo pomeriggio che tento di capire la dimostrazione di tale teorema ma non ci sono riuscito e sta subentrando un po di rabbia e frustrazione (che di certo non aiutano...). Ho provato a dimostrarlo utilizzando diversi libri e dispense ma niente. Il libro del corso è il "Matematica" di Pagani-Bramanti-Salsa (quello "tutto in uno" per intenderci).
Sono riuscito a capire fino al punto in cui dice che il sistema è solubile se e solo se b è combinazione ...
Date 2 matrici A e B per verificare se sono simili mi basta vedere che abbiano lo stesso polinomio caratteristico (condizione necessaria ma non sufficiente) e per stare sicuro che siano anche diagonalizzabili? Cioè andando a vedere se la somma della molteplicità geometrica di A e B sia uguale alla dimensione dello spazio in cui sono descritte? Per esempio entrambe quadrate 3x3 la somma deve essere 3
O devo andare a vedere altre caratteristiche?
Ciao a tutti!
Qualcuno può aiutarmi con tale dimostrazione?
Dimostrare il lemma di indipendenza: Dati i vettori v1, v2,..., vk linearmente indipendenti e v ∈ V . Allora i vettori v1, v2,..., vk, v sono linearmente indipendenti ⇔ v $\notin$
Grazie!
Sia dato $ q(x,y)=ax^2+by^2+2cxy$,la cosa che non riesco a capire è perchè la forma quadratica si può rappresentare con una matrice,che in questo caso è:
$((a,c),(c,b))$ Qual è il collegamento?Grazie mille in anticipo!!
Salve!
Ho questo esercizio, vorrei capire se ho fatto bene o no
Ho un sistema lineare a due parametri reali $h$ e $k$
$x + y + h z = h - k$
$k x + y + z = 0$
$(2-h) x + k y + h z = 0$
devo trovare h e k in modo tale che sia un sottospazio $W$ di dimensione $2$
affinchè sia un sottospazio, ci deve esssere il vettore nullo. Al secondo membro deve essere tutto 0.
quindi $h - k = 0$ -> $h=k$
riscrivendo il sistema con ...
Ho un sottospazio $U={u=(x,y,z,t)\inRR^4|x+2y-3z=0, t-z=0}$ e due vettori $v_1=(1,1,1,h)$, $v_2=(2,-1,0,0)$
Come trovo le equazioni cartesiane di V, dove $V=span(v_1,v_2)$? Infine stabilire per quale h, $w=(h,-1,1,2)\inV$
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