Esistenza applicazione lineare dati due sottospazi
Salve, ho un problema con il seguente esercizio:
$ U : \{(x+y+z+w= 0),(2x+3y-z+w=0):}$ $V : <(1,-1,1,-1),(1,0,-1,0),(0,0,1,1)>$
Dire per quali k reali esiste un applicazione lineare $ f : RR^4 -> RR^2 $ tale che $Ker(f)=U$ e $f(1,-1,1,-1)=(2,1) f(1,0,-1,0)=(-2,k) f(0,0,1,1)=(1,k)$ e dire quante ne esistono.
Io ho iniziato trovando una base del nucleo $Ker(f) = <(-4,3,1,0),(-2,1,0,1)>$ e avevo pensato di prendere un vettore combinazione lineare di due vettori della base V,di trovarne l'immagine attraverso f per linearità e di costruirmi la matrice associata ad f in questo modo. A questo punto per trovare una condizione su k avevo pensato di trovare l'immagine della base del nucleo attraverso f e di imporla uguale a 0. Il problema mi è sorto nel moltiplicare il primo vettore della base di ker f per la matrice che ho trovato poichè non ottengo il valore 0 pur non avendo k nell'equazione.
La 4 colonna della matrice la ho trovata in questo modo $ f(1,0,0,1)= f(1,0,-1,0) + f(0,0,1,1)=(-1,0)$
Ma $((2,-2,1,-1),(1,-k,k,0)) (-4,3,1,0)^T = -8-6+1-0$ che non è uguale a 0.
E' corretto il mio ragionamento? perchè non funziona?
Grazie in anticipo.
$ U : \{(x+y+z+w= 0),(2x+3y-z+w=0):}$ $V : <(1,-1,1,-1),(1,0,-1,0),(0,0,1,1)>$
Dire per quali k reali esiste un applicazione lineare $ f : RR^4 -> RR^2 $ tale che $Ker(f)=U$ e $f(1,-1,1,-1)=(2,1) f(1,0,-1,0)=(-2,k) f(0,0,1,1)=(1,k)$ e dire quante ne esistono.
Io ho iniziato trovando una base del nucleo $Ker(f) = <(-4,3,1,0),(-2,1,0,1)>$ e avevo pensato di prendere un vettore combinazione lineare di due vettori della base V,di trovarne l'immagine attraverso f per linearità e di costruirmi la matrice associata ad f in questo modo. A questo punto per trovare una condizione su k avevo pensato di trovare l'immagine della base del nucleo attraverso f e di imporla uguale a 0. Il problema mi è sorto nel moltiplicare il primo vettore della base di ker f per la matrice che ho trovato poichè non ottengo il valore 0 pur non avendo k nell'equazione.
La 4 colonna della matrice la ho trovata in questo modo $ f(1,0,0,1)= f(1,0,-1,0) + f(0,0,1,1)=(-1,0)$
Ma $((2,-2,1,-1),(1,-k,k,0)) (-4,3,1,0)^T = -8-6+1-0$ che non è uguale a 0.
E' corretto il mio ragionamento? perchè non funziona?
Grazie in anticipo.
Risposte
Io avrei fatto come segue .
Tra i vettori dati ( con le corrispondenti immagini) ne scelgo 4 linearmente indipendenti e precisamente:
$(1,-1,1,-1)^T,(-4,3,1,0)^T,(-2,1,0,1)^T,(0,0,1,1)^T$
Successivamente cerco di esprimere il vettore generico $(x,y,z,w)^T$ di $mathbb{R^4}$ in funzione di
questi 4 e trovo che :
$(x,y,z,w)^T=(-2/3x-y+1/3z-1/3w)(1,-1,1,-1)^T+(1/6x+1/2y+1/6z-1/6w)(-4,3,1,0)^T+(-7/6x-3/2y-1/6z+1/6w)(-2,1,0.1)^T+(1/2x+1/2y+1/2z+1/2w)(0,0,1,1)^T$
Passando alle immagini , con vari calcoli si trova che :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5/6&-3/2&7/6&-1/6\\1/2k-2/3&1/2k-1&1/2k+1/3&1/2k-1/3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \)
Per determinare i valori di k occorre calcolare il vettore immagine di $(1,0,-1,0)^T$ ed eguagliarlo al vettore dato
$(-2,k)^T$.
Facendo tutti i passaggi si ha:
$f(1,0,-1,0)^T=(-2,-1)^T$ quindi eguagliando a $(-2,k)^T$ ne segue $k=-1$
Su conclude quindi che si ha un solo valore di k soddsfacente le condizioni imposte. Ho verificato il procedimento e pare vada a posto. Tu comunque controlla: hai visto mai...!
Tra i vettori dati ( con le corrispondenti immagini) ne scelgo 4 linearmente indipendenti e precisamente:
$(1,-1,1,-1)^T,(-4,3,1,0)^T,(-2,1,0,1)^T,(0,0,1,1)^T$
Successivamente cerco di esprimere il vettore generico $(x,y,z,w)^T$ di $mathbb{R^4}$ in funzione di
questi 4 e trovo che :
$(x,y,z,w)^T=(-2/3x-y+1/3z-1/3w)(1,-1,1,-1)^T+(1/6x+1/2y+1/6z-1/6w)(-4,3,1,0)^T+(-7/6x-3/2y-1/6z+1/6w)(-2,1,0.1)^T+(1/2x+1/2y+1/2z+1/2w)(0,0,1,1)^T$
Passando alle immagini , con vari calcoli si trova che :
\(\displaystyle f\begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-5/6&-3/2&7/6&-1/6\\1/2k-2/3&1/2k-1&1/2k+1/3&1/2k-1/3\end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix}x\\y\\z\\w\end{pmatrix} \)
Per determinare i valori di k occorre calcolare il vettore immagine di $(1,0,-1,0)^T$ ed eguagliarlo al vettore dato
$(-2,k)^T$.
Facendo tutti i passaggi si ha:
$f(1,0,-1,0)^T=(-2,-1)^T$ quindi eguagliando a $(-2,k)^T$ ne segue $k=-1$
Su conclude quindi che si ha un solo valore di k soddsfacente le condizioni imposte. Ho verificato il procedimento e pare vada a posto. Tu comunque controlla: hai visto mai...!
"Ale93pz":
E' corretto il mio ragionamento? perchè non funziona?
1) i 4 vettori rispetto ai quali hai scritto la matrice rappresentativa non costituiscono una base di $mathbbR^4$
2) anche se costituissero una base avresti scritto una matrice rappresentativa rispetto ad una base non canonica ,quindi,al limite,dovresti scrivere le coordinate di $(-4,3,1,0)$ rispetto a questa base
prendiamo come base di $mathbbR^4$ l'insieme $X={(1,-1,1,-1),(1,0,-1,0),(0,0,1,1),(-4,3,1,0)}$
puntiamo a scrivere la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica
$(1,0,0,0)=1/2(1,-1,1,-1)+7/6(1,0,-1,0)+1/2(0,0,1,1)+1/6(-4,3,1,0)$
$f(1,0,0,0)=(-5/6,1/2+5/3k)$
da $(1,0,-1,0)=(1,0,0,0)-(0,0,1,0)$ si ha
$f(0,0,1,0)=(7/6,1/2+2/3k)$
da $(0,0,1,1)=(0,0,1,0)+(0,0,0,1)$ si ha
$f(0,0,0,1)=(-1/6,-1/2+1/3k)$
da $(1,-1,1,-1 )=(1,0,0,0)-(0,1,0,0)+(0,0,1,0)-(0,0,0,1)$ si ha
$f(0,1,0,0)=(-3/2,1/2+2k)$
matrice rappresentativa
$ A=( ( -5/6 , -3/2 , 7/6, -1/6 ),( 1/2+5/3k , 1/2+2k , 1/2+2/3k , -1/2+1/3k ) ) $
imponendo che $A cdot ( ( -2 ),( 1),( 0 ),( 1 ) )=(0,0) $
si ottiene un'equazione in k che ha come soluzione $k=-1$
puntiamo a scrivere la matrice rappresentativa di $f$ rispetto alla base canonica
$(1,0,0,0)=1/2(1,-1,1,-1)+7/6(1,0,-1,0)+1/2(0,0,1,1)+1/6(-4,3,1,0)$
$f(1,0,0,0)=(-5/6,1/2+5/3k)$
da $(1,0,-1,0)=(1,0,0,0)-(0,0,1,0)$ si ha
$f(0,0,1,0)=(7/6,1/2+2/3k)$
da $(0,0,1,1)=(0,0,1,0)+(0,0,0,1)$ si ha
$f(0,0,0,1)=(-1/6,-1/2+1/3k)$
da $(1,-1,1,-1 )=(1,0,0,0)-(0,1,0,0)+(0,0,1,0)-(0,0,0,1)$ si ha
$f(0,1,0,0)=(-3/2,1/2+2k)$
matrice rappresentativa
$ A=( ( -5/6 , -3/2 , 7/6, -1/6 ),( 1/2+5/3k , 1/2+2k , 1/2+2/3k , -1/2+1/3k ) ) $
imponendo che $A cdot ( ( -2 ),( 1),( 0 ),( 1 ) )=(0,0) $
si ottiene un'equazione in k che ha come soluzione $k=-1$
Grazie mille ora ho capito 
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