Retta contenuta in un piano incidente una retta

[ludwigZero]

Buon pomeriggio.
Vorrei vedere dove sbaglio con questo esercizio di geometria

Ho due rette:

r:
$x-y+2z+2=0$
$x-2y-2z=0$

s:
$x=t$
$y=t$
$z=t$

1) Trovare il piano $\Pi$ contenente $P(2,2,2) \in s$ ed $r$:
$a(x-y+2z+2)+b(x-2y-2z)=0$
passaggio per $P(2,2,2)$ il piano viene:
$2x-3y+2=0$

2) trovare la retta $t$ contenuta in $\Pi$, perpendicolare ad $r$, incidente $s$
ogni retta che appartiene al piano, e in questo caso $t$ ha la condizione che il suo vettore direttore $(a,b,c)$ deve essere perpendicolare alla normale al piano $n$:
$n=(2,-3,0)$

$2a-3b=0$

quindi il generico vettore direttore è della forma: $(3b,2b,2c)$

l'altra condizione (quella di perpendicolarità con la retta $r$) è:
$Vr=(6,4,-1)$
$Vr * Vt = 0$
da cui viene:
$3b *6 + 2b * 4 - 2c = 0$

a finale ha la forma di:
$(3b,2b,26b)$ -> $(3,2,26)$

quindi in forma parametrica, la retta che è incidente a $s$ (quindi passa per per $P(2,2,2)$) sarà:
$x=2 + 3 \lambda$
$y=2 + 2 \lambda$
$z=2+26 \lambda$

che ne pensate del ragionamento?
(credo ci sia qualche falla da qualche parte....ecco perchè chiedo qui )

[weblan]

Io la vedo in questo modo, la retta cercata deve appartenere al piano $pi$, la retta $s$ incide $pi$ nel punto $P=(2,2,2)$. Ora considero il piano $\alpha$ passante per $P=(2,2,2)$ e ortogonale a $r$.

La retta cercata è intersezione di quest'ultimo piano $\alpha$ e del piano $pi$.

Il piano $\alpha$ ha equazione $6x+4y-z=18$ e il piano $pi$ come hai detto equazione $2x-3y=-2$

Lo stesso tuo risultato!

[ludwigZero]

ortogonale ad $r$, quindi deve essere $n=Vr=(6,4,-1)=(a,b,c)$

eq. generica del piano:
$a x + b y + c z + d = 0$
passaggio di P
$12 + 8 - 2 + d = 0$
$d= -18$
quindi è:
$6 x + 4 y - z - 18 = 0 $ (1)

e quindi la retta finale sarà (1) + il piano trovato prima

giusto?