Domanda teorica diagonalizzazione
Salve a tutti,
Riguardando i miei appunti di algebra linare ho letto:
Si consideri un'applicazione lineare $f$:$V->V$; il problema di determinare dei vettori che vengono trasformati da $f$ in vettori ad essi paralleli, è legato alla possibilità di determinare una base di $V$ rispetto alla quale la matrice associata ad $f$ è in forma diagonale.
La mia domanda è: Esiste una applicazione lineare in cui alcuni vettori vengono mandati paralleli a loro stessi, ma non esiste una base per cui la matrice associata ad $f$ sia in forma diagonale? e se la risposta è no, esiste una dimostrazione?
L'unica osservazione pratica che riesco a fare è che se un vettore libero, viene mandato parallelo a se stesso, i vettori liberi ortogonali a quest'ultimo rimangano invariati e dunque anche essi mandati in vettori paralleli a se stessi (ie la dilatazione di una figura in una direzione) o mi sbaglio?
PS: scusate la confusione delle mie idee... probabilmente la risposta è banale, ma non riesco proprio ad arrivarci; inoltre spero di aver posto bene la domanda, ma come ho già detto ho le idee confuse su questo argomento!
Comunque a intuito la mia risposta è no, però non riesco a dimostrarlo!
Grazie in anticipo
Riguardando i miei appunti di algebra linare ho letto:
Si consideri un'applicazione lineare $f$:$V->V$; il problema di determinare dei vettori che vengono trasformati da $f$ in vettori ad essi paralleli, è legato alla possibilità di determinare una base di $V$ rispetto alla quale la matrice associata ad $f$ è in forma diagonale.
La mia domanda è: Esiste una applicazione lineare in cui alcuni vettori vengono mandati paralleli a loro stessi, ma non esiste una base per cui la matrice associata ad $f$ sia in forma diagonale? e se la risposta è no, esiste una dimostrazione?
L'unica osservazione pratica che riesco a fare è che se un vettore libero, viene mandato parallelo a se stesso, i vettori liberi ortogonali a quest'ultimo rimangano invariati e dunque anche essi mandati in vettori paralleli a se stessi (ie la dilatazione di una figura in una direzione) o mi sbaglio?
PS: scusate la confusione delle mie idee... probabilmente la risposta è banale, ma non riesco proprio ad arrivarci; inoltre spero di aver posto bene la domanda, ma come ho già detto ho le idee confuse su questo argomento!
Comunque a intuito la mia risposta è no, però non riesco a dimostrarlo!
Grazie in anticipo
Risposte
Ammetto che non ho proprio chiaro quanto chiedi, però secondo me la risposta è: dipende da quanti e quali vettori vengono mandati in vettori ad essi paralleli (per brevità d'ora in poi li chiamo con il loro nome: autovettori).
Mi spiego: l'esistenza di autovettori non implica che ce ne sia in quantità sufficiente a generare l'intero spazio, quindi non è detto che tu possa scrivere la matrice associata in forma diagonale.
Prendi già solo l'endomorfismo $RR^2 \to RR^2$ dato da $f(e_1)=e_1$ e $f(e_2)=e_1+e_2$ ($(e_i)$ base canonica). Il vettore $e_1$ è certamente un autovettore ma non trovi nessuna base di $RR^2$ rispetto alla quale la matrice associata sia diagonale (e infatti $f$ non è diagonalizzabile).
Più chiaro?
Mi spiego: l'esistenza di autovettori non implica che ce ne sia in quantità sufficiente a generare l'intero spazio, quindi non è detto che tu possa scrivere la matrice associata in forma diagonale.
Prendi già solo l'endomorfismo $RR^2 \to RR^2$ dato da $f(e_1)=e_1$ e $f(e_2)=e_1+e_2$ ($(e_i)$ base canonica). Il vettore $e_1$ è certamente un autovettore ma non trovi nessuna base di $RR^2$ rispetto alla quale la matrice associata sia diagonale (e infatti $f$ non è diagonalizzabile).
Più chiaro?
Si adesso mi è chiaro, Grazie mille!
Non mi è chiara però a questo punto la differenza tra un'applicazione diagonalizzabile e una che non lo è... alla fine anche una applicazione non diagonalizzabile può subire dilatazioni e dunque dove sta la differenza tra l'una e l'altra?
PS: scusa se utilizzo sempre la parola dilatazioni, ma da come ho interpretato gli autovettori, penso che la loro presenza stia ad indicare proprio una dilatazione! giusto? <.<
Grazie ancora per la risposta!
Non mi è chiara però a questo punto la differenza tra un'applicazione diagonalizzabile e una che non lo è... alla fine anche una applicazione non diagonalizzabile può subire dilatazioni e dunque dove sta la differenza tra l'una e l'altra?
PS: scusa se utilizzo sempre la parola dilatazioni, ma da come ho interpretato gli autovettori, penso che la loro presenza stia ad indicare proprio una dilatazione! giusto? <.<
Grazie ancora per la risposta!
La differenza tra una applicazione diagonalizzabile e una non diagonalizzabile è esattamente quella che dicevamo sopra: per le prime c'è una intera base costituita da autovettori, per le altre questa base non c'è.
Attenzione, poi: anzitutto, non ci sono solo dilatazioni (se l'autovalore è più piccolo - in modulo - di 1, un relativo autovetture viene mandato in qualcosa di parallelo ma più corto, quindi c'è stata una contrazione) e, in secondo luogo, le applicazioni non "subiscono dilatazioni".
Tutto ok, ora? Per qualsiasi ulteriore dubbio, sai dove siamo.
Attenzione, poi: anzitutto, non ci sono solo dilatazioni (se l'autovalore è più piccolo - in modulo - di 1, un relativo autovetture viene mandato in qualcosa di parallelo ma più corto, quindi c'è stata una contrazione) e, in secondo luogo, le applicazioni non "subiscono dilatazioni".
Tutto ok, ora? Per qualsiasi ulteriore dubbio, sai dove siamo.
Fantastico, adesso mi è tutto più chiaro!
Penso di aver inoltre capito da dove è nato il mio dubbio:
Avevo interpretato male ciò che ho letto sui miei appunti, infatti da
"Si consideri un'applicazione lineare f:V→V; il problema di determinare dei vettori che vengono trasformati da f in vettori ad essi paralleli, è legato alla possibilità di determinare una base di V rispetto alla quale la matrice associata ad f è in forma diagonale."
avevo capito che in una applicazione lineare erano presenti autovettori solo se f era diagonalizzabile, e ciò mi ha fatto sorgere la confusione e i vari dubbi :p
Grazie ancora per i chiarimenti Paolo!
Penso di aver inoltre capito da dove è nato il mio dubbio:
Avevo interpretato male ciò che ho letto sui miei appunti, infatti da
"Si consideri un'applicazione lineare f:V→V; il problema di determinare dei vettori che vengono trasformati da f in vettori ad essi paralleli, è legato alla possibilità di determinare una base di V rispetto alla quale la matrice associata ad f è in forma diagonale."
avevo capito che in una applicazione lineare erano presenti autovettori solo se f era diagonalizzabile, e ciò mi ha fatto sorgere la confusione e i vari dubbi :p
Grazie ancora per i chiarimenti Paolo!
Prego, è stato un piacere.
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