Sistema lineare con due parametri

[ludwigZero]

Salve!
Ho questo esercizio, vorrei capire se ho fatto bene o no

Ho un sistema lineare a due parametri reali $h$ e $k$

$x + y + h z = h - k$

$k x + y + z = 0$

$(2-h) x + k y + h z = 0$

devo trovare h e k in modo tale che sia un sottospazio $W$ di dimensione $2$

affinchè sia un sottospazio, ci deve esssere il vettore nullo. Al secondo membro deve essere tutto 0.
quindi $h - k = 0$ -> $h=k$

riscrivendo il sistema con $h=k$ si ha:
$x+y+h z = 0$
$h x + y + z = 0$
$(2-h)x+hy+hz=0$

affinchè sia di dimensione 2, il rango della matrice associata deve essere 2:

$((1,1,h),(h,1,1),(2-h,h,h))$

determino quindi il determinante e lo pongo diverso da $0$

va bene così?
Una base del siffatto sottospazio, come lo trovo?

[minomic]

"ludwigZero":affinchè sia di dimensione 2, il rango della matrice associata deve essere 2:

$((1,1,h),(h,1,1),(2-h,h,h))$

determino quindi il determinante e lo pongo diverso da $0$

Ciao,
se il determinante è diverso da $0$ allora il rango della matrice è $3$.

[ludwigZero]

giusto! quindi lo pongo uguale a 0.
trovo $h$
dopodichè per la base? prendo due colonne L.I. giusto?

[minomic]

"ludwigZero":quindi lo pongo uguale a 0.

Quasi giusto: se il determinante è zero allora il rango potrebbe essere anche $1$. Tu devi garantire che sia $2$, cioè devi garantire l'esistenza di un minore $2xx2$ invertibile tale che però tutti i suoi orlati $3xx3$ non lo siano.