Dire se una applicazione e' iniettiva

[davide940]

Data $ A( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) $ dire se $ L_A$ e' una funzione iniettiva
Verifico se e' iniettiva:
Dati $ ( ( x_1 ),( x_2) ) $ e $ ( ( y_1 ),( y_2) ) $ tali che
$ L_A ( ( x_1 ),( x_2) ) = L_A ( ( y_1 ),( y_2) ) $
voglio dimostrare che
$ ( ( x_1 ),( x_2) ) = (( y_1 ),( y_2) ) $
quindi:
$ ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) )( ( x_1 ),( x_2)) = ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) (( y_1 ),( y_2)) $
$( ( x_1+x_2 ),( 2x_1+2x_2)) = (( y_1+y_2 ),( 2y_1+2y_2)) $
risolvo il sistema e trovo:
$ { ( x_1+x_2 = y_1+y_2 ),( 2x_1+2x_2 = 2y_1+2y_2 ):} $
Moltiplico la prima per due e poi sottraggo la seconda equazione dalla prima ottenendo
$ { ( 0=0 ),( 2x_1+2x_2 = 2y_1+2y_2 ):} $
Quindi e' vero $ \forall x,y in R $, quindi la funzione e' iniettiva corretto?

[stormy1]

no,non è corretto
la funzione non è iniettiva in quanto $|A|=0$

[davide940]

ok non avevo pensato al determinante, tuttavia lo devo dimostrare risolvendo il sistema o con metodi simili.

[stormy1]

calcola le immagini di (-1,1) e (0,0)

[davide940]

Calcolando l'immagine ottengo:
$ ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) * ( ( -1 ) ,( 1 ) ) = ( ( 0 ), (0 ) ) $
tuttavia questo e' vero $ \forall \lambda in R $ infatti
$ ( ( 1 , 1 ),( 2 , 2 ) ) * ( ( -\lambda) , (\lambda ) ) = ( ( 0 ), (0 ) ) $
Quindi non puo' essere iniettiva

[minomic]

"davide940":[...]
Moltiplico la prima per due e poi sottraggo la seconda equazione dalla prima ottenendo
$ { ( 0=0 ),( 2x_1+2x_2 = 2y_1+2y_2 ):} $
Quindi e' vero $ \forall x,y in R $, quindi la funzione e' iniettiva

Ciao,
l'errore nel tuo ragionamento era qui. Tu devi dimostrare che quella equazione è vera se e solo se $x_1 = y_1$ e $x_2 = y_2$. Questo è ovviamente vero ma non è l'unica soluzione possibile. Infatti l'equazione che hai trovato ti dice che puoi costruire infinite soluzioni: è sufficiente che valga \[x_1+x_2 = y_1+y_2\] E infatti una possibile coppia che dimostra la non-iniettività della funzione è proprio quella che ti ha postato stormy.
Prendi ad esempio il vettore $((3),(4))$, la cui immagine è $((7),(14))$. La somma tra $3$ e $4$ è $7$. Allora prendo un altro vettore tale che la somma delle sue componenti sia $7$, ad esempio $((5),(2))$. Se calcoli la sua immagine vedi che è ancora $((7),(14))$.