Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
ho un esercizio che dice:
"Nello spazio $RR^3$ riferito ad un sistema di coordinate cartesiane ortogonali $0\vec x\vec y\vec z$, classificare la quadrica di equazione : $(x+y)(x-z) + 2z =0$.
Trovare tutte le sezioni piane di Q che sono parabole."
Solitamente gli esercizi sulle quadriche non sono molto approfonditi dunque si trovano esercizi sulle classificazioni delle quadriche e poi niente di che...ho guardato libri differenti ma niente..
Infatti classificare una quadrica ...
Salve, ho questo esercizio:
dato il punto P0 (-2,3) e la retta $2x+5y+1=0$ determinare la retta per P0 parallela a r.
Lo svolgimento dice che la retta parallela è del tipo $2x+5y+h=0$ e dovendo passare per il punto P0 risulta $h=4-15$.
Non capisco come abbia determinato h.
Salve a tutti, potreste aiutarmi con questo esercizio?
Sia L: $ L:R^4->R^6 $ definita da $ L(x,y,z,t)=(x+z,x+z,x+z,y+t,y+t,y+t) $ calcolare $ L^-1(0,1,0,2,4,0) $ e $ L^-1(1,1,1,2,2,2) $ . Non so proprio da dove iniziare sono nelle vostre mani
Salve a tutti, innanzi tutto mi presento perché è il primo messaggio che posto sul forum e mi scusa anche per l'ora tarda. Frequento ingegneria informatica all'università di pisa e mi sono iscritto al forum per avere aiuto per quanto riguarda materie matematiche come analisi II e algebra lineare (Ho già passato analisi I per fortuna), spero che possiate aiutarmi con i miei dubbi.
Allora passiamo subito alle domande, la prima rigurarda un teorema di Operatori Autoaggiunti il quale ...
Ciao a tutti, domani ho l'esame di geometria I e purtroppo non so svolgere questo esercizio, potreste aiutarmi? La traccia è:
Nello spazio $RR_2[x]$ dei polinomi di grado minore o uguale a 2 in una indeterminata a coefficienti reali, consideriamo i polinomi $p_1 (x) = x^2 + 2x + 1$ ; $p_2 (x) = x^2 + 1$ ; $p_3 (x) = x^2$.
Sia $f: RR_2 [x] \to RR_2 [x]$ l'applicazione lineare tale che la matrice associata a f rispetto alla base $B=(p_1 (x), p_2 (x), p_3(x))$ (nel dominio e nel codominio) sia ...
Salve, da poco iniziato a studiare lo Spazio, vi propongo un esercizio che non sono riuscito a svolgere:
Date le rette:
\(\displaystyle r : \begin{equation}
\begin{cases}
y+2=0\\z=2
\end{cases}
\end{equation} \)
\(\displaystyle s : \begin{equation}
\begin{cases}
y+1=0\\x+z-3=0
\end{cases}
\end{equation} \)
a. Determinare la retta passante per l'origine e complanare con r e con s;
b. Trovare i punti di r aventi distanza \(\displaystyle \sqrt{3} \) con s
Vi ringrazio in ...
L'esercizio è il seguente:
Nello spazio euclideo $E^3$ si fissi un sistema di riferimento ortonormale e si considerino le rette
$r: \{(x+y-2z=0),(2y-3z+2=0):}, s: \{(x=-2+t),(y=3t),(z=1+t):}$
Determinare la posizione reciproca di $r$ ed $s$ e, se non sono parallele, trovare la comune perpendicolare e la minima distanza tra esse.
Bene. Per prima cosa la seconda retta la passo in forma cartesiana e faccio:
$\{(t=2+x),(y=3(2+x)=6+3x),(z=1+2+t=3+t):}, s: \{(3x-y+6=0),(x-z+3=0):}$
Ora per la posizione reciproca tra due rette si dovrebbe ...
Salve a tutti,
mi trovo a cercare di risolvere questo esercizio:
"Nel piano, riferito ad un sistema di assi ortogonali 0 $\vec x \vec y$, studiare il fascio di coniche passanti per l'origine, per il punto improprio $P_oo$(2,1,0), e tangenti alla retta r: x-1=0 nel punto A(1,2)."
L'esercizio non mi preoccupa tanto per lo studio del fascio, ma mi preoccupa trovare la sua equazione. Infatti il fatto che tra i dati vi è un punto improprio mi mette crisi in quanto non so come si ...
Ciao volevo sapere se il procedimento del seguente esercizio è corretto.
Si consideri il piano $\pi$ di equazione cartesiana $\pi$ $:2x-y-z+1=0$ e la retta $r$ di equazione parametrica:
$r:$ $\{(x=1+4t),(y=2+t),(z=-1+t):}$.
(a) Quanti sono i piani contenenti $r$ e paralleli a $\pi$ ?.
(b) Se ne esiste qualcuno, determinare l'equazione cartesiana.
[size=150]SVOLGIMENTO[/size]
Trovo l'equazione cartesiana della retta ...
$\sqrt{2^{2013}}\times(-\frac{\sqrt{2}}{2}-i\frac{\sqrt{2}}{2})=<br />
-2^{1006} \times(1+i)$
a me invece il risultato viene così:
$-\frac{\sqrt{2^{2015}}}{2^{2}} \times(1+i) = -\sqrt{2^{2011}} \times(1+i)$
chi sarebbe così gentile da farmi capire dove sbaglio ? grazie
Salve a tutti,
leggendo il mio testo di analisi mi sfugge il modo come definisce la topologia naturale di \( \Bbb{R}\) (quindi anche lo spazio topologico con questa topologia); da quello che mi sembra di capire io penso, e vorrei una conferma ringraziando anticipatamente, avendo \((\Bbb{R}, \tau)\) spazio topologico, \((\Bbb{R}, \tau)\) è spazio naturale di \( \Bbb{R}\) se $$\tau=\{Z|Z \subseteq \Bbb{R} \wedge \forall x \in Z(\exists a,b \in \Bbb{R}(a < b \wedge x \in ]a,b[ \; ...
Salve.
Sto cercando di risolvere il seguente quesito riguardo le quadriche:
"Dire per quali punti di un ellissoide il piano polare è ortogonale alla retta che li congiunge al centro".
Allora... Ho preso un generico punto proprio $(a,b,c,1)$ che appartiene all'ellissoide reale (classificato affinemente) di equazione generale $x^2+y^2+z^2−1=0$ se e solo se $a^2+b^2+c^2−1=0$.
Ho, poi, individuato un piano polare in quel punto. Esso ha equazione $ax+by+cz−1=0$. La direzione ortogonale a ...
Faccio un topic unico essendo domande veloci (credo):
1) ho un endomorfismo in [tex]R^3[/tex] con matrice simmetrica rispetto le basi canoniche, mi viene chiesta una base ortonormale con matrice diagonale.
Ora tale base dovrebbe essere formata dagli autovettori (teorema spettrale), nel mio caso ho due autospazi,di dimensione 1 e 2, due autovettori con molteplicità 1 e 2. Il che la rende diagonalizzabile ma i due autovettori dello stesso autospazio non sono ortogonali tra loro. Che strategia ...
Salve a tutti, ho dei dubbi su questo esercizio:
Dati i vettori $v_1 = (2, −1, 1), v_2 = (4, −2, 2), v_3 = (1, 1, 0), v_4 = (0, −3, 1)$ e gli scalari $a_1 = 3, a_2 = −1, a_3 = −2, a_4 = −1$, calcolare la combinazione lineare dei vettori $v_1, ..., v_4$ secondo gli scalari $a_1,..., a_4$ e da questa dedurre che i vettori dati sono linearmente dipendenti.
Detto $U = Span{v_1,...,v_4}$, trovare una base di $U$, la sua dimensione e completare poi la base trovata a una base di $RR^3$.
Il primo punto è banale, infatti ...
Salve a tutti, ho un problema con questo esercizio:
Devo determinare il rango della matrice
$((1,b-1,3,1),(b,2,3,1),(1,1,a-1,1),(a+b-5,a-3,a-4,a-4))$
Al variare dei parametri a e b. Ora, io so che per calcolare il rango di una matrice posso agire in due modi:
1)Ridurre a gradini la matrice (e a causa dei due parametri mi viene piuttosto difficile)
2) Utilizzare il teorema dei minori orlati (Teorema di Kronecker)
Per quanto io provi a utilizzare il secondo metodo mi sembra troppo lungo e macchinoso, considerando tutti i minori 2x2 ...
Buongiorno,
ho un problema con il seguente esercizio, vi illustro il testo e i miei procedimenti.
Si considerino i punti $ A=(1,1,1), B=(1,0,1), C=(-1,1,0)$.
(a) scrivere le equazioni della retta $r$ che contiene $A$ e $B$
(b) Dopo aver verificato che $C$ $notin$ $r$, scrivere l'equazione di un piano ( a scelta) che passa per $C$, è parallelo ad $r$ ma non contiene ...
salve ,oggi sono alle prese con un nuovo esercizio scrivere una base dei sottospazi e completarla a una base dello spazio ambiente:
w1 {(-k,0,k) / k appartenente a r}incluso in R^3
w2 = L(span)(1,1,0),(0,0,0),(1,2,0),(2,2,0) incluso in R^3
Allora io ho scritto le due basi in questo modo
w1= (-1,0,0),(0,0,1) ora siccome ha dimensione 1 per completarla alla base ambiente basta aggiungere un vettore linearmente indipendete e ho scelto di fare cosi w1=(-1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)
w2= ...
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi (senza relativa dimostrazione) e per quelli che lo sono, calcolarne una base.
\(\displaystyle W_1 = \{(x,y) \in R^2 | x=hy, h \in R, h \geq 0\} \subseteq R^2 \)
\(\displaystyle W_2 = \{(x,y,z) \in R^3 | x=2z\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_3 = \{(1,2,1),(-1,-2,-1),(0,0,0)\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_4 = L\{(1,1,1,1),(2,2,2,2),(1,1,1,2)\} \subseteq R^4 \)
allora, \(\displaystyle W_1 \) e \(\displaystyle W_2 \) mi sembrano ...
Sia $W sub R4 $ il piu piccolo sottospazio che contiene il vettore $(1, 1, 0, 0)$ e i vettori $(0, t,t + 1, t + 2)$, per
ogni $t in Z$ .
Determinare le equazioni cartesiane di $W$ e una sua base.
$ W = (1, 1, 0, 0) + (0, t,t + 1, t + 2) = (1, 1, 0, 0) + ( 0, 0,1,2) + t(0, 1,1, 1) = (1,1,1,2)+ t(0, 1,1, 1)= (1,1,1,2)+ <(0, 1,1, 1)>$
Trovare le equazioni cartesiane di $W$ consiste nel trovare un sistema che ha $W$ come soluzione ovvero:
$( ( 0 , x-1 ),( 1 , y-1 ),( 1 , z-1 ),( 1 , w-2 ) ) =(( 1 , y-1 ), ( 0 , x-1 ),( 0, z-y ),( 0 , w-y-1 ) ) $
Quindi il sistema e':
${ ( x = 1),( z = y ),( w = y+1 ):}$
Vorrei sapere se e' corretto.
Salve a tutti,
Devo discutere la diagonalizzabilità di una matrice in base al parametro $ ain R $
la matrice è $ A=( ( a , 0 , 2 ),( 0 , 1 , 5 ),( 0 , 0 , -a ) ) $
Ho trovato i tre autovalori che sono t=a; t=-a e t=1
Se a è diverso da 0,1, -1 la benedetta matrice è diagonalizzabile. I miei problemi cominciano proprio qui: perchè, facendo la discussione con a=0 la matrice non è diagonalizzabile? Poi, non ho capito per quale ragione la prof abbia tirato in ballo il rango della matrice per discutere la ...
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