[Esercizio Geometria] equazione fascio di piani

[jack1982te]

Ciao volevo sapere se il procedimento del seguente esercizio è corretto.

Si consideri il piano $\pi$ di equazione cartesiana $\pi$ $:2x-y-z+1=0$ e la retta $r$ di equazione parametrica:
$r:$ $\{(x=1+4t),(y=2+t),(z=-1+t):}$.
(a) Quanti sono i piani contenenti $r$ e paralleli a $\pi$ ?.
(b) Se ne esiste qualcuno, determinare l'equazione cartesiana.

[size=150]SVOLGIMENTO[/size]
Trovo l'equazione cartesiana della retta $r$
$\{(x=1+4t),(y=2+t),(z=-1+t):}$ $rArr$ $\{(x=1+4y-8),(t=y-2),(z=-1+y-2):}$ $rArr$ $\{(x-4y+7=0),(t=y-2),(y-z-3=0):}$ $rArr$ $\{(x-4y+7=0),(y-z-3=0):}$

L'equazione cartesiana del fascio di piani di asse la retta $r$ con $\lambda$ $,$ $\mu$ $!=$ $0$ è:
$\lambda$ $(x-4y+7)+$ $\mu$ $(y-z-3)=0$
La riscrivo nella seguente forma:
$\lambda$ $x$ $+(-4+$ $\mu$ $)y-z$ $\mu$ $+7$ $\lambda$ $-3$ $\mu$ $=0$
Imponendo il parallelismo con il vettore direttore del piano $\pi$, cioè $(2,-1,-1)$, ottengo:

$2$ $\lambda$ $+4$ $\lambda$ $-$ $\mu$ $+$ $\mu$ $=0$ $rArr$ $\lambda$ $=0$ .
Quindi non esistono piani che rispecchiano i vincoli dati.

E' corretto?
Ciao e grazie

[domino.h4ck]

$\lambda$ è uguale a zero, non $\mu$. Quindi il piano cercato è y-z-3=0

[domino.h4ck]

Giusto, scusate. Facevo lo stesso errore io, consideravo la condizione di ortogonalità..

[jack1982te]

Grazie molte!
Quindi la condizione di parallelismo è data dalla seguente equazione:

$\lambda /2=$ ${-4 \lambda +\mu} /-1= {-\mu}/-1$ da cui:

$\{(\lambda /2= {-4 \lambda +\mu} /-1),(\lambda /2={-\mu}/-1):}$ $rArr$ $\{(-\lambda = 8 \lambda -2\mu ),(-\lambda =-2\mu):}$ $rArr$ $\{(\lambda = 0 ),(\mu =0):}$