Dire quali dei seguenti è un sottospazio
Dire quali dei seguenti sottoinsiemi sono sottospazi (senza relativa dimostrazione) e per quelli che lo sono, calcolarne una base.
\(\displaystyle W_1 = \{(x,y) \in R^2 | x=hy, h \in R, h \geq 0\} \subseteq R^2 \)
\(\displaystyle W_2 = \{(x,y,z) \in R^3 | x=2z\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_3 = \{(1,2,1),(-1,-2,-1),(0,0,0)\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_4 = L\{(1,1,1,1),(2,2,2,2),(1,1,1,2)\} \subseteq R^4 \)
allora, \(\displaystyle W_1 \) e \(\displaystyle W_2 \) mi sembrano sottospazi perché entrambi contengono il vettore nullo e sono stabili rispetto alla somma e al prodotto. \(\displaystyle W_1 \) ha dimensione 1 e una sua base è (1,1) mentre \(\displaystyle W_2 \) ha dimensione 2 e una sua base è (0,1,0),(2,0,1).
\(\displaystyle W_3 \) chiaramente non è un sottospazio vettoriale in quanto non ci vuole molto a trovare uno scalare che mi faccia uscire un vettore non appartene a \(\displaystyle W_3 \).
\(\displaystyle W_4 \) è un sottospazio per definizione è una sua base è (1,1,1,1),(1,1,1,2) in quanto sono un insieme massimale di vattori linearmente indipendente.
Avanti, trucidatemi pure se ho sbaglio qualcosa!
\(\displaystyle W_1 = \{(x,y) \in R^2 | x=hy, h \in R, h \geq 0\} \subseteq R^2 \)
\(\displaystyle W_2 = \{(x,y,z) \in R^3 | x=2z\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_3 = \{(1,2,1),(-1,-2,-1),(0,0,0)\} \subseteq R^3 \)
\(\displaystyle W_4 = L\{(1,1,1,1),(2,2,2,2),(1,1,1,2)\} \subseteq R^4 \)
allora, \(\displaystyle W_1 \) e \(\displaystyle W_2 \) mi sembrano sottospazi perché entrambi contengono il vettore nullo e sono stabili rispetto alla somma e al prodotto. \(\displaystyle W_1 \) ha dimensione 1 e una sua base è (1,1) mentre \(\displaystyle W_2 \) ha dimensione 2 e una sua base è (0,1,0),(2,0,1).
\(\displaystyle W_3 \) chiaramente non è un sottospazio vettoriale in quanto non ci vuole molto a trovare uno scalare che mi faccia uscire un vettore non appartene a \(\displaystyle W_3 \).
\(\displaystyle W_4 \) è un sottospazio per definizione è una sua base è (1,1,1,1),(1,1,1,2) in quanto sono un insieme massimale di vattori linearmente indipendente.
Avanti, trucidatemi pure se ho sbaglio qualcosa!
Risposte
Direi che una base di $W_1$ è $(h,1)$. Per il resto mi pare tutto corretto.
Siano \(v = (1,1)\) e \(w = (2,1) \). \(\displaystyle v,w\in W_1 \), infatti \(\displaystyle 1-h = 0 \) per \(\displaystyle h = 1 > 0 \) e \(\displaystyle 2 - h = 0 \) per \(\displaystyle h = 2 > 0 \). Ma \(\displaystyle w-v = (1,0) \) e non esistono \(\displaystyle h \) tali che \(\displaystyle 1 - 0h = 0 \). Quindi \(\displaystyle W_1 \) non è un sottospazio e non lo sarebbe neanche se \(\displaystyle h \) potesse anche essere negativo (cosa che a sua volta permette la creazione di controesempi).
Gli altri sono corretti.
EDIT: ho letto ora ciampax e abbiamo interpretato diversamente \(\displaystyle W_1 \). Il suo è probabilmente l'interpretazione corretta, io ci ho aggiunto un \(\displaystyle \exists \) prima di \(\displaystyle h\in\mathbb{R} \). Lascio per vedere un controesempio della mia interpretazione.
Gli altri sono corretti.
EDIT: ho letto ora ciampax e abbiamo interpretato diversamente \(\displaystyle W_1 \). Il suo è probabilmente l'interpretazione corretta, io ci ho aggiunto un \(\displaystyle \exists \) prima di \(\displaystyle h\in\mathbb{R} \). Lascio per vedere un controesempio della mia interpretazione.
Ah, ma $h$ non è fissato? Oddio, avevo capito fosse unico.
"ciampax":
Direi che una base di $W_1$ è $(h,1)$. Per il resto mi pare tutto corretto.
ciao, grazie mille per la risposta.
perché $W_1$ è $(h,1)$? se volessimo descrivere l'insieme di $W_1$ non sarebbe tipo questo : $(0,0),...,(x,x)$
No, supposso \(h\) fissato hai che \(x = hy\). Perciò se \(y=1\) hai \(x = h\).
"vict85":
No, supposso \(h\) fissato hai che \(x = hy\). Perciò se \(y=1\) hai \(x = h\).
Giusto. Ho riflettuto anche su quello che hai scritto sopra. Sei un grande, grazie mille.
Comunque, vict85, può darsi tu abbia ragione a dire che quel $h$ non sia fissato, sai? Mmmmm, sinceramente adesso mi hai fatto venire un dubbio su come vada interpretata quella roba.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo