Def. di topologia naturale di \(\Bbb{R}\) e di \(\overline{\Bbb{R}}\)

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
leggendo il mio testo di analisi mi sfugge il modo come definisce la topologia naturale di \( \Bbb{R}\) (quindi anche lo spazio topologico con questa topologia); da quello che mi sembra di capire io penso, e vorrei una conferma ringraziando anticipatamente, avendo \((\Bbb{R}, \tau)\) spazio topologico, \((\Bbb{R}, \tau)\) è spazio naturale di \( \Bbb{R}\) se $$\tau=\{Z|Z \subseteq \Bbb{R} \wedge \forall x \in Z(\exists a,b \in \Bbb{R}(a < b \wedge x \in ]a,b[ \; \wedge \; ]a,b[ \;\subseteq Z))\}=\text{topologia naturale di } \Bbb{R}$$ Ho intesto male/bene? Ringrazi a priori! Spero di non aver detto cavolate..
Saluti

[Epimenide93]

A occhio direi che hai inteso bene, ma dal mio punto di vista dando una caratterizzazione asettica (seppur corretta) di questa topologia perdi di vista il perché venga detta naturale, e come il fatto che sia tanto "naturale" porti con sé dei vantaggi notevoli.

Puoi definire la topologia naturale di \(\mathbb{R}\) come la topologia indotta dalla metrica euclidea o come l'order topology sulla relazione \( < \) (cosa, quest'ultima, che si avvicina molto alla tua descrizione, ma ha "qualche motivazione in più").

Inoltre, ma questa è puramente una questione di gusti, secondo me se la descrizione di una topologia si fa troppo "verbosa", conviene descrivere la topologia per mezzo di una base o di una prebase, a volte le questioni topologiche sono veramente sottili, più la notazione è immediata, semplice e leggibile, minori sono le crisi d'ira a seguito di lavori resi vani a causa di qualche distrazione/fraintendimento

[j18eos]

Condivido appieno il post di Epimenide93! [size=85]Così la smette di dirmi:"ubi maior minor cessat"![/size]

[Epimenide93]

[ot]

"j18eos":Condivido appieno il post di Epimenide93! [size=85]Così la smette di dirmi:"ubi maior minor cessat"![/size]

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[garnak.olegovitc1]

Ringrazio entrambi ; purtroppo sono ancora agli inizi e con certe cose devo ancora prendere familiarità . Prima di dire qualcosa sul modo di definizione che ho usato vorrei sapere, aldilà della order topology o delle topologia indotta da una metrica, se la topologia naturale, in questo caso, di \( \overline{\Bbb{R}}\) è invece la seguente $$\zeta=\{\tau\} \cup \{X \subseteq \overline{\Bbb{R}}\;|\;\exists T \in \tau, s \in \Bbb{R}(X=T \cup [-\infty,s[ \; \vee \; X=T \;\cup \; ]s,+\infty])\}$$ con \(\tau=\text{topologia naturale di }\Bbb{R}\) (come scritto prima)?? Googol volte grazie in anticipo!
Saluti

P.S. = Cambio intanto il titolo del post

[Epimenide93]

Sì, direi che è lei.

[garnak.olegovitc1]

Scusate se risollevo la questione, prima avevo definito la topologia naturale sui reali estesi in questo modo:

"garnak.olegovitc":$$\zeta=\{\tau\} \cup \{X \subseteq \overline{\Bbb{R}}\;|\;\exists T \in \tau, s \in \Bbb{R}(X=T \cup [-\infty,s[ \; \vee \; X=T \;\cup \; ]s,+\infty])\}$$ con \(\tau=\text{topologia naturale di }\Bbb{R}\)

pensando tra me e me, se \(\tau\) fosse una topologia indotta da una metrica allora \( \zeta\) è sempre una topologia per \( \overline{\Bbb{R}}\)? Io penso di si, ma vorrei una conferma! Ringrazio a priori!

p.s.=pensandoci mi sembra di capire che la topologia indotta da una materica per \(\Bbb{R}\) è topologia naturale di \(\Bbb{R}\), ergo se così è, e se penso bene, allora mi sono risposto da solo!

[vict85]

"garnak.olegovitc":p.s.=pensandoci mi sembra di capire che la topologia indotta da una materica per \(\Bbb{R}\) è topologia naturale di \(\Bbb{R}\), ergo se così è, e se penso bene, allora mi sono risposto da solo!

Si, è così. Tutte le metriche Lipschitzianamente equivalenti tra di loro producono la stessa topologia. Quindi molte delle metriche che puoi definire su \(\displaystyle \mathbb{R} \) generano la topologia standard, ma non tutte.


[EDIT] Avevo sbagliato la condizione.

[garnak.olegovitc1]

"vict85":
Si, è così. Tutte le metriche Lipschitzianamente equivalenti tra di loro producono la stessa topologia. Quindi molte delle metriche che puoi definire su \(\displaystyle \mathbb{R} \) generano la topologia standard, ma non tutte.

grazie vict85, mi sei stato di grande aiuto!

[vict85]

Devi stare però attento che \(\displaystyle \overline{R} \) è compatto, quindi qualsiasi metrica su di esso è finita. Perciò la topologia di \(\displaystyle \overline{R} \) non è indotta dalla matrica standard su \(\displaystyle R \). Per vederla in senso metrico ti converrebbe usare l'omeomorfismo con \(\displaystyle [-1,1] \) dato dall'arcotangente (scalato di un insignificante fattore costante ).