[Esercizio Geometria] Retta passante per O e complanare con r ed s

[domino.h4ck]

Salve, da poco iniziato a studiare lo Spazio, vi propongo un esercizio che non sono riuscito a svolgere:

Date le rette:
\(\displaystyle r : \begin{equation}
\begin{cases}
y+2=0\\z=2
\end{cases}
\end{equation} \)

\(\displaystyle s : \begin{equation}
\begin{cases}
y+1=0\\x+z-3=0
\end{cases}
\end{equation} \)


a. Determinare la retta passante per l'origine e complanare con r e con s;
b. Trovare i punti di r aventi distanza \(\displaystyle \sqrt{3} \) con s


Vi ringrazio in anticipo per l'aiuto!

[domino.h4ck]

Può essere una possibile soluzione per il punto a:

Si fa il fascio di piani di sostegno la retta r e si impone il passaggio per l'origine (pi)
Si fa il fascio di piani di sostegno la retta s e si impone il passaggio per l'origine (pi2)
E la retta t passante per l'origine e complanare con r e con s, è la retta intersezione di pi e pi2

Per il punto b, ancora non so come fare..

[domino.h4ck]

up

[Sk_Anonymous]

Per il punto (a) la tua soluzione va bene. Per il punto (b) puoi fare come segue.
Scegli due punti qualsiasi sulla retta $s$. Ad esempio i punti $A(0,-1,3) , B(3,-1,0)$ e sia $C(c,-2,2)$ il punto generico di $r$. Calcoli i vettori :
$\vec{C-A}=(c,-1,-1)$; $ \vec{B-A}=(3,0,-3)$.
Poi calcoli il prodotto vettore :
$(\vec{C-A})\bigwedge (\vec{B-A}) =(3,3c-3,3)$ il cui modulo è $\sqrt{9+(3c-3)^2+9} $
Infine dividi quest'ultimo modulo per il modulo di $\vec{B-A}$ ed ottieni la distanza di C dalla retta $r$:
$d=\frac{\sqrt{9+(3c-3)^2+9}}{\sqrt{3^2+3^2}}$
Eguagli questo quoto al valore dato $\sqrt3$ ed ottieni l'equazione in $c$ :
$\frac{\sqrt{9+(3c-3)^2+9}}{\sqrt{3^2+3^2}}=\sqrt3$
Da qui si ha: $c_1=-1,c_2=3$
Pertanto i punti richiesti sono $C_1(-1,-2,2), C_2(3,-2,2)$

[domino.h4ck]

Non capisco geometricamente cosa hai fatto, potresti spiegarmelo?