Dimostrazione base - autovettori

[Sk_Anonymous]

Data un' applicazione lineare $f: R^m->R^n$, se $f$ è diagonalizzabile si ha che la molteplicità algebrica di ciascun autovalore è uguale a quella geometria e, inoltre, la somma delle molteplicità è pari a $n$.
Io vorrei dimostrare che l'insieme dei vettori che formano una base di ciascun autospazio (che sono $n$ vettori) sono linearmente indipendenti, Io so che i vettori di ogni autospazio sono l.i., ma l'insieme di tutti i vettori come faccio a provare che sono l.i.?

[vict85]

L'insieme di tutti i vettori di un autospazio non è linearmente indipendente. I vettori di una base invece sono linearmente indipendenti per definizione. Immagino che nella tua testa ciò che vuoi dimostrare sia chiaro ma la tua descrizione non lo è affatto.

[garnak.olegovitc1]

"sleax":Data un' applicazione lineare $f: R^m->R^n$, se $f$ è diagonalizzabile si ha che la molteplicità algebrica di ciascun autovalore è uguale a quella geometria e, inoltre, la somma delle molteplicità è pari a $n$.
Io vorrei dimostrare che l'insieme dei vettori che formano una base di ciascun autospazio (che sono $n$ vettori) sono linearmente indipendenti, Io so che i vettori di ogni autospazio sono l.i., ma l'insieme di tutti i vettori come faccio a provare che sono l.i.?

in realtà "autovettori non nulli di autovalori distinti sono liberi" (e questo lo puoi provare).. per il resto è come dice vict85

[abbas90]

La tua funzione non è endomorfismo perchè $R^m$ e $R^n$ sono diversi quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile

[Sk_Anonymous]

"garnak.olegovitc":in realtà "autovettori non nulli di autovalori distinti sono liberi" (e questo lo puoi provare)

Mi daresti una mano a provarlo?
Poi se $\vec{v_1},\vec{v_2}$ sono autovettori relativi a $\lambda_1$ e $\vec{v_3}$ è relativo a $\lambda_2$, con $\lambda_1!=\lambda_2$, io so che ${\vec{v_1},\vec{v_3}}$ è libero, ${\vec{v_2},\vec{v_3}}$ è libero, ma non so se ${\vec{v_1},\vec{v_2},\vec{v_3}}$ è libero o meno. Ecco: questo è il succo della domanda iniziale, qunidi se mi risolvessi questo dubbio te ne sarei molto lieto.

"abbas90":La tua funzione non è endomorfismo perchè $R^m$ e $R^n$ sono diversi quindi non dovrebbe essere diagonalizzabile

Perchè soltanto gli endomorfismi sono diagonalizzabili?

[vict85]

A meno che la molteplicità del primo autovalore non sia 1, non puoi dire nulla sulla loro indipendenza, devi usare i soliti metodi.