[Esercizio sulle quadriche] Ellissoide
Salve.
Sto cercando di risolvere il seguente quesito riguardo le quadriche:
"Dire per quali punti di un ellissoide il piano polare è ortogonale alla retta che li congiunge al centro".
Allora... Ho preso un generico punto proprio $(a,b,c,1)$ che appartiene all'ellissoide reale (classificato affinemente) di equazione generale $x^2+y^2+z^2−1=0$ se e solo se $a^2+b^2+c^2−1=0$.
Ho, poi, individuato un piano polare in quel punto. Esso ha equazione $ax+by+cz−1=0$. La direzione ortogonale a tale piano è, dunque, individuata dal vettore $(a,b,c)$.
Son poi passato a considerare la retta che congiunge un generico punto dell'ellissoide al centro. Se il generico punto ha coordinate $(a,b,c,1)$ e il centro $(0,0,0,1)$ , i parametri direttori della retta congiungente tali punti sono proprio $(a,b,c)$.
Ora $(a,b,c)$ deve essere ortogonale alla direzione del piano, cioè equivalentemente parallelo alla direzione ortogonale del piano. Pertanto $a=ta,b=tb,c=tc$ per un certo $t$ reale e diverso dallo zero.
Da questo punto in poi, non so più come ragionare... e non so nemmeno se il mio ragionamento è esatto o meno. Qualcuno può aiutarmi?
Sto cercando di risolvere il seguente quesito riguardo le quadriche:
"Dire per quali punti di un ellissoide il piano polare è ortogonale alla retta che li congiunge al centro".
Allora... Ho preso un generico punto proprio $(a,b,c,1)$ che appartiene all'ellissoide reale (classificato affinemente) di equazione generale $x^2+y^2+z^2−1=0$ se e solo se $a^2+b^2+c^2−1=0$.
Ho, poi, individuato un piano polare in quel punto. Esso ha equazione $ax+by+cz−1=0$. La direzione ortogonale a tale piano è, dunque, individuata dal vettore $(a,b,c)$.
Son poi passato a considerare la retta che congiunge un generico punto dell'ellissoide al centro. Se il generico punto ha coordinate $(a,b,c,1)$ e il centro $(0,0,0,1)$ , i parametri direttori della retta congiungente tali punti sono proprio $(a,b,c)$.
Ora $(a,b,c)$ deve essere ortogonale alla direzione del piano, cioè equivalentemente parallelo alla direzione ortogonale del piano. Pertanto $a=ta,b=tb,c=tc$ per un certo $t$ reale e diverso dallo zero.
Da questo punto in poi, non so più come ragionare... e non so nemmeno se il mio ragionamento è esatto o meno. Qualcuno può aiutarmi?
Risposte
Ho continuato a ragionare su quest'esercizio. Ora vi propongo quello che sono riuscito ad elaborare nella speranza che qualcuno più esperto possa confermare o "distruggere" il mio ragionamento 
"Dire per quali punti dell'ellissoide il piano polare è ortogonale alla retta che li congiunge al centro"
[PASSO 1] Preso un qualunque ellissoide reale (a punti reali) di equazione
$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0$
un generico punto $(p, q, r)$ appartiene ad esso se e solo se
$p^2/a^2+q^2/b^2+r^2/c^2-1=0$
ossia quando
$(b^2c^2)p^2+(a^2c^2)q^2+(a^2b^2)r^2=a^2b^2c^2$
[PASSO 2] Dato un generico punto $(p, q, r)$, l'equazione del piano polare nel punto risulta essere
$(p/a^2)x+(q/b^2)y+(r/c^2)z-1=0$
Pertanto, la direzione ortogonale al piano polare risulta $(p/a^2, q/b^2, r/c^2)$
[PASSO 3] Dato il generico punto $(p, q, r)$, la retta che lo unisce al centro dell'ellissoide risulta avere parametri direttori proprio $(p, q, r)$
[PASSO 4] Siccome la retta deve essere ortogonale al piano polare, questo vuol dire, in maniera equivalente, che i suoi parametri direttori sono proporzionali alla direzione ortogonale al piano polare.
Ciò significa che:
$p=p/a^2$
$q=q/b^2$
$r=r/c^2$
e ciò avviene se e solo se
$a^2=1=b^2=c^2$
[PASSO 5] Sostituendo i valori appena ottenuti di $a^2$, $b^2$ e $c^2$ nell'ultima equazione che avevo ottenuto nel [PASSO 1], si ottiene che i punti che soddisfano le richieste dell'esercizio sono i punti $(p, q, r)$ per i quali $p^2+q^2+r^2=1$.
"Dire per quali punti dell'ellissoide il piano polare è ortogonale alla retta che li congiunge al centro"
[PASSO 1] Preso un qualunque ellissoide reale (a punti reali) di equazione
$x^2/a^2+y^2/b^2+z^2/c^2-1=0$
un generico punto $(p, q, r)$ appartiene ad esso se e solo se
$p^2/a^2+q^2/b^2+r^2/c^2-1=0$
ossia quando
$(b^2c^2)p^2+(a^2c^2)q^2+(a^2b^2)r^2=a^2b^2c^2$
[PASSO 2] Dato un generico punto $(p, q, r)$, l'equazione del piano polare nel punto risulta essere
$(p/a^2)x+(q/b^2)y+(r/c^2)z-1=0$
Pertanto, la direzione ortogonale al piano polare risulta $(p/a^2, q/b^2, r/c^2)$
[PASSO 3] Dato il generico punto $(p, q, r)$, la retta che lo unisce al centro dell'ellissoide risulta avere parametri direttori proprio $(p, q, r)$
[PASSO 4] Siccome la retta deve essere ortogonale al piano polare, questo vuol dire, in maniera equivalente, che i suoi parametri direttori sono proporzionali alla direzione ortogonale al piano polare.
Ciò significa che:
$p=p/a^2$
$q=q/b^2$
$r=r/c^2$
e ciò avviene se e solo se
$a^2=1=b^2=c^2$
[PASSO 5] Sostituendo i valori appena ottenuti di $a^2$, $b^2$ e $c^2$ nell'ultima equazione che avevo ottenuto nel [PASSO 1], si ottiene che i punti che soddisfano le richieste dell'esercizio sono i punti $(p, q, r)$ per i quali $p^2+q^2+r^2=1$.
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