Esercizio matrice

[bellrodo]

Sia $A$ una matrice $nxn$ tale che $A^2 + I = 0$. Provare che $n$ è pari

Ho provato a risolvere così:

Per avere come risultato la matrice nulla, $A^2$ dovrà essere necessariamente $((-1,0),(0,-1))$

quindi impongo che: $A$ $((a,b),(c,d))$ * $A$ $((a,b),(c,d))$ = $((-1,0),(0,-1))$

quindi ottengo il seguente sistema lineare:

$a^2+bc=-1$
$ab+bd=0$
$ac+cd=0$
$d^2+bc=-1$

risolvo e ottengo:

$bc=-a^2-1$
$b(a+d)=0$
$c(a+d)=0$
$d^2-a^2-1=-1$

quindi:

$a=d$
$b(2a)=0$
$c(2a)=0$

Penso di aver fatto tutti i passaggi correttamente, però arrivato a questo punto non so come procedere; o: $a=d=0$ oppure $b=c=0$

Ho sbagliato qualcosa?
1) Come faccio a scoprire i valori di $a,b,c$ e $d$?
2) Come faccio a dimostrare che $n$ deve essere pari?

[Gi81]

Perchè hai fatto il caso $n=2$? Non sai a priori quant'è l'ordine della matrice.

Sai che $A^2 = - I$, e devi dimostrare che $n$ è pari.
Sfrutta il determinante: sai che $det(A^2)= det ( -I)$, dunque...

[Light_1]

Ciao!

Non ho controllato i conti , ma da qui per esempio

$ { ( a=d ),( b(2a)=0 ),( c(2a)=0 ):} $

non puoi concludere di avere la matrice nulla.

Magari hai

$ { ( b=c=0 ),( a=d ):} $

Comunque una matrice quadrata che per esempio soddisfa quell'equazione è

$ ( ( i , 0 ),( 0 , i ) ) $

[Trilogy]

Scusa, ma la matrice può avere entrate complesse? Perché se è così allora basta mettere $i$ su tutta la diagonale, come ha fatto Light, e la dimensione può benissimo essere dispari.

[bellrodo]

"Gi8":Perchè hai fatto il caso $n=2$? Non sai a priori quant'è l'ordine della matrice.

Sai che $A^2 = - I$, e devi dimostrare che $n$ è pari.
Sfrutta il determinante: sai che $det(A^2)= det ( -I)$, dunque...

grazie per l'aiuto ma non riesco ad arrivare a un conclusione...

allora se $n$ è pari il $det(A^2)= det ( -I) = 1$

se $n$ è dispari il $det(A^2)= det ( -I) = -1$

come faccio a sapere che $n$ deve essere pari?

[Gi81]

Saprai senz'altro la proprietà del determinante nota come teorema di Binet: $det(A*B)=det(A)*det(B)$.
Da questa segue che $det(A^2) =det(A)*det(A)= det(A)^2$

[bellrodo]

"Gi8":Saprai senz'altro la proprietà del determinante nota come teorema di Binet: $det(A*B)=det(A)*det(B)$.
Da questa segue che $det(A^2) =det(A)*det(A)= det(A)^2$

ok quindi $n$ deve essere pari perché il $det(A^2)$ deve essere necessariamente positivo (poiché elevato al quadrato) e quindi $=1$ giusto?

[Gi81]

Esatto:
$(-1)^n= det(-I)= det(A^2)= det(A)^2 => (-1)^n>0 => n$ pari