Molteplicità geometrica

[asder83]

questa è la matrice
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) $
calcolare la molteplicità geometrica per $\lambda=1 $
molteplicità geometrica$(1)= n - rango(A-\lambdaId)$

[Gold D Roger]

"chry11":questa è la matrice
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) $
calcolare la molteplicità geometrica per $\lambda=1 $
molteplicità geometrica$(1)= n - rango(A-\lambdaId)$

Per trovare la molteplicità geometrica devi calcolare $dim(ker(f_lambda))$, calcolando
$ ( ( 1-lambda , 3 , 1 ),( 3 , 9-lambda , 3 ),( 1 , 3 , 1-lambda ) ) ( (x) , (y), (z) )= ( (0),(0),(0))$
dopo aver sostituito $1$ a $lambda$.

[asder83]

possiamo svolgerlo assieme?
mi trovo
$ { ( x=0 ),( y=0 ),( z=0 ):} $

[Gold D Roger]

Sicura di aver calcolato bene gli autovalori?

Infatti, per definizione, i vettori associati a un autovalore devono essere non nulli.
Invece usando la formula:

"chry11":
$g_lambda= n - rango(A-\lambdaI_n) $

da te postata, risulterebbe $g_1=n-r ( ( 0 , 3 , 1 ),( 3 , 8 , 3 ),( 1 , 3 , 0 ) )=3-3=0 $ impossibile in quanto \( 1\leq g_\lambda \leq Alg(\lambda) \).

[asder83]

ma qual è il risultato???

[Gi81]

$A= ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) $
Il fatto è che $1$ non è un autovalore di questa matrice.
Gli autovalori di $A$ sono $lambda_1=0$ (con molteplicità algebrica $2$) e $lambda_2= 11$ (con molteplicità algebrica $1$).

[asder83]

sisi ho appena corretto,
questa è la matrice
$ ( ( 1 , 3 , 1 ),( 3 , 9 , 3 ),( 1 , 3 , 1 ) ) $
calcolare autovettori,autospazi,molteplicità geometrica per $\lambda=11$

[asder83]

la molteplicità geometrica di 11 è 1.
Come calcolo autovettori e autospazi?

[Gi81]

$A-11 I= ( (- 10 , 3 , 1 ),( 3 , -2 , 3 ),( 1 , 3 , -10 ) ) $

Consideriamo il sistema lineare omogeneo associato:
E' inutile scrivere tutte e tre le equazioni. Dato che il rango di $A-11 I$ è $2$, basta prenderne due.
Prendo la prima e la terza equazione:
${(-10x+3y+z=0),(x+3y-10z=0):}=> {(z= 10x-3y),(11x-11z=0):}=> {(z= 10x-3y),(x=z):}=>$
$=> {(x=z),(z=10z-3y):} => {(x=z),(y=3z):}$

Quindi un autovettore è $(1,3,1)$

[asder83]

dovrebbe venire lo stesso risultato prendendo tutte e tre le equazioni?

[Gi81]

"chry11":dovrebbe venire lo stesso risultato prendendo tutte e tre le equazioni?

sì

[asder83]

viewtopic.php?f=37&t=149347

[Gi81]

Se non ti torna il risultato, scrivi i passaggi che ti portano al risultato sbagliato.

[asder83]

$ { ( -10x+3y+z=0 ),( 3x-2y+3z=0 ),( x+3y-10z=0 ):} { ( z=10x-3y ),( 3x-2y+3(10x-3y)=0 ),( x+3y-10(10x-3y)=0 ):} { ( z=10x-3y ),( 3x-2y+30x-9y=0 ),( x+3y-100x+30y=0 ):} { ( z=10x-3y ),( 33x-11y=0 ),( -99x+33y=0 ):} $
come continuo?

[Gi81]

Sia la seconda che la terza equazione portano a $y= 3x$
Sostituendo nella prima si ha $z= 10x -3(3x)=> z= x$

[asder83]

quindi $x(1,3,1)$
questo è un autovettore,giusto?
e l'autospazio?

[Gi81]

"chry11":quindi $x(1,3,1)$
questo è un autovettore,giusto?

No. $(1,3,1)$ è un autovettore (l'avevo anche scritto prima). La $x$ non ci va.

"chry11":e l'autospazio?

Se la molteplicità geometrica è 1, come hai scritto prima,
e $(1,3,1)$ è un autovettore,
quale sarà mai l'autospazio?

[asder83]

$x(1,3,1)$